このポアソン分布の練習問題が解けません。

質問

[Q]Messages arrive at a telegraph office according to a Poisson process with rate λ=3 per hour.
What is the probability that no message arrives between times 8:00 and 10:00 in the morning?
(1) What is the expected value of the number of messages that arrive between 8:00 and 10:00 in the morning?
(2) What is the probability density function of the arrival time of the third message after 2 pm?

「[問]メッセージが一時間当たりλ=3のPoisson分布に従って交換局に届く。
午前8:00から午前10:00までにメッセージが届かない確率は幾らか?
(1) 午前8:00から午前10:00までに届くメッセージ数の期待値は幾らか?
(2) 午後2時以降に3番目のメッセージが届く確率密度関数は何か?」

という問題に難儀してます。

『[例題]
B先生の携帯には1日平均2件のメールが入ってくる。この1日に入ってくるメールの件数を確率変数Xとし,これが平均μ=2のポアソン分布P_o(2)に従うものとする。
(i) P_o(2)の確率関数P_p(x)を示せ。(ii) 1日に入ってくるメールが3件以上となる確率を求めよ
[(i)の解]
ポアソン分布P_o(μ)の確率関数P_p(x)はP_p(x)=e^-μ・μ^x/x!より
μ=2のポアソン分布P_o(2)の確率変数P_p(x)はP_p(x)=e^-2・2^x/x!
[(ii)の解]
1日のメール件数Xが3以上となる確率P(X≧3)は,全確率1から余事象の確率P(X≧2)を引いて求める。
P(X≧2)はX=0,1,2となる時の確率の総和より,
求める確率P(X≧3)は
P(X≧3)=1-P(X≧2)=1-(P_p(0)+P_p(1)+P_p(2))=1-(e^-2・2^0/0!+e^-2・2^1/1!+e^-2・2^2/2!)
=1-e^-2(1+2+2)=1-5/e^2』

を参考にしてみました。"一時間当たりλ=3"が"1日平均2件"に相当すると考えまして
ポアソン分布P_o(μ)の確率関数P_p(x)はP_p(x)=e^-λ・λ^x/x!より
λ=3のポアソン分布P_o(3)の確率変数P_p(x)はP_p(x)=e^-3・3^x/x! …(1)
1時間に何回かのメッセージが届く確率は1
1時間に0回のメッセージが届く確率は(1)からP(X≦0)=P_p(0)=e^-3・3^0/0!=1/e^3
だから午前8:00から午前10:00までにメッセージが届かない確率は
P(X≦0)・P(X≦0)=1/e^3・1/e^3=1/e^6 …(2)
午前0時から午前8時までに何回かのメッセージが届く確率は1・1・1・1・1・1・1・1 …(3)
よって(2)と(3)から1・1・1・1・1・1・1・1・1/e^3・1/e^3=1/e^6
[(1)の解]
午前8:00から午前10:00までにメッセージが0回の確率は1/e^3・1/e^3
午前8:00から午前10:00までにメッセージが1回の確率は3/e^3・3/e^3
午前8:00から午前10:00までにメッセージが2回の確率は9/e^3・9/e^3
…
なので
0(1/e^3・1/e^3)+1(3/e^3・3/e^3)+2(9/e^3・9/e^3)+…
=Σ[n=0..∞]n・3^n/n!・1/e^3=1/e^3Σ[n=0..∞]3^n/(n-1)!
[(2)の解]
午前0時から午後1時までに1件/hずつ計2件のメッセージが届く確率は(13C1)・3/e^3・×(13C1)・3/e^3
午前0時から午後1時までに2件/hのメッセージが届く確率は(13C1)・9/e^3
そして午後2時に3件目のメッセージが届く確率は3/e^3
以上の事から
(13C1)・3/e^3・×(13C1)・3/e^3+(13C1)・9/e^3+3/e^3

ここから確率密度関数はどのようにして求めれるのでしょうか?

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

Poisson 分布には再生性という重要な特徴があります。即ち、確率変数 Xi , i=1,2,..,n がそれぞれ平均 λi , i=1,2,...,n の Poisson 分布に従うとき、確率変数 Y を
Y = Σ Xi
で定義すると、 Y は平均 λ = Σλi の Poisson 分布になります。
X1, X2 が平均 λ1, λ2 のPoisson 分布にしたがうとき、X1 + X2 が平均 λ1 + λ2 の Poisson 分布に従うことは容易に示すことができますので、一度トライしてみると良いでしょう。

午前 8 時から午前 10 時までにおいて、8時から9時の 1 時間に受け取るメッセージの数 を X1、9時から10時の 1 時間に受け取るメッセージの数を X2 とすると、X1, X2 はそれぞれが 平均λ = 3 の Poisson 分布に従っているわけですから、8 時から 10 時までの 2 時間に受け取るメッセージの数 X1 + X2 は、Poisson 分布の再生性から平均λ = 3 + 3 = 6 の Poisson 分布になります。即ち、
P(X1+X2 = k) = {6^k / (k!)} (e^-6)

＞　午前8:00から午前10:00までにメッセージが届かない確率は幾らか?
P(X1+X2 = 0) = e^(-6)

＞ 午前8:00から午前10:00までに届くメッセージ数の期待値は幾らか?
平均 6 のPoisson 分布の平均は 6 ですよねえ。

ちなみに、質問者さんのように1時間ごとに区切って計算しても求められるはずなのですが・・・
＞　午前8:00から午前10:00までにメッセージが1回の確率は3/e^3・3/e^3
違います。これでは、各 1 時間でメッセージを1回づつ合計2回受ける確率になってしまいます。
P(X1+X2 = 1) = P(X1=1) P(X2=0) + P(X1=0) P(X2=1)
です。
＞　午前8:00から午前10:00までにメッセージが2回の確率は9/e^3・9/e^3
違います。メッセージが2回の確率は
8:00～9:00 に 0 回 かつ 9:00～10:00 に 2 回
8:00～9:00 に 1 回 かつ 9:00～10:00 に 1 回
8:00～9:00 に 2 回 かつ 9:00～10:00 に 0 回
の場合をすべて考えなければだめです。メッセージが k 回の確率は、
P(X1 + X2 = k) = Σ[i=0,k] { P(X1 = i ) P(X2 = k - i ) }
です。ここをきちんとしないと、上述した再生性の証明はできません。

＞　午後2時以降に3番目のメッセージが届く確率密度関数は何か?
訳が微妙に違います。3番目のメッセージの到着時刻の確率密度を求めよです。つまり、確率変数は時刻そのものです。
ここでちゃんと説明するのは無理ですし、この際ですから、「ポアソン分布」、「ポアソン過程」、「アーラン分布」を調べてください。上の回答を拝見していると、すぐに理解するのは困難な箇所もあるかもしれませんが、分からない点は基本に立ち戻って勉強してみてください。なお、この問題は本来は、平均 t λ のポアソン過程の問題なんでしょうね・・・。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

> 違います。メッセージが2回の確率は
> 8:00～9:00 に 0 回 かつ 9:00～10:00 に 2 回
> 8:00～9:00 に 1 回 かつ 9:00～10:00 に 1 回
> 8:00～9:00 に 2 回 かつ 9:00～10:00 に 0 回
> の場合をすべて考えなければだめです。メッセージが k 回の確率は、
> P(X1 + X2 = k) = Σ[i=0,k] { P(X1 = i ) P(X2 = k - i ) }

そうですね。
Σ[k=0..∞]kP(X1+X2=k)=Σ[k=0..∞]Σ[i=0,k]{P(X1=i)P(X2=k i)}=6となるのですね。
または
ポアソン過程(t時間でn個になる確率)が(λt)^n/(e^(λt)n!)
Σ[n=0..∞]n(λt)^n/(e^(λt)n!)=λt
で今λ=3,t=2だから3・2=6となるのですね。

8:00からみて，14:00までに2件のメッセージ(t=6, n=2) があり（この確
率は e^(-3*6) *(3*6)^2/2!）
そのあとに3番目のメッセージが t-6 時間後につくということであれば，密度関数
3e^(-3(t-6)) をかけたものになって
e^(-18) *(18)^2/2 * 3 e^(-3(t-6))
となるのですね。