関数f(x)が"f(x)=(1)ax(0≦x≦1)(2)b

質問

関数f(x)が"f(x)=(1)ax(0≦x≦1)(2)b(x-2)(2≦x≦3)(3)その他0"で与えられており、Xをf(x)を密度関数とする連続型確率変数とする時、期待値が5/3の時の分散は(1)と(2)の分散(aとbは求めてから)を足したものでいいんのでしょうか？

回答No.1

info33

∫[-∞,∞] f(x) dx=1 より
∫[-∞,∞] f(x) dx=∫[0,1] ax dx+∫[2,3] b(x-2) dx
=[ax^2/2][0.1] +[b(x-2)^2/2][2,3]=a/2+b/2=1
a+b=2 ...[1]

E(X)=m=∫[-∞,∞] xf(x) dx=5/3 より
m=5/3=∫[0,1] ax^2 dx+∫[2,3] bx(x-2) dx
=[ax^3/3][0.1] +[b(x^3/3-2x^2/2)][2,3]=a/3+4b/3
a+4b=5 ...[2]

[1],[2]より a=b=1 ... [3]

>期待値が5/3の時の分散は(1)と(2)の分散を足したものでいいんのでしょうか？

>(aとbは求めてから)
[3] より a=b=1
分散σ^2=∫[-∞,∞] (x-m)^2 f(x) dx より
σ^2=∫[0,1] x(x-5/3)^2 dx+∫[2,3] (x-2)(x-5/3)^2 dx
=19/18
となります。

補足

∫[2,3] b(x-2) dx = b[x^2/2-2x][2,3]にはならないのですか？