因数分解？

質問

ｘ^２ー（１＋ｙ）ｘ＋ｙ^２ーｙ＋１

についての因数分解教えてください。
ちなみに不等式の証明です。

こたえ
＝（ｘー１＋ｙ／２）^２＋３／４（ｙ－１）^２＞＝０

後半の３／４（ｙ－１）^２のところがよくわからないんです。
たしかに展開すれば、正解ですが・・・。

手順示してくれるとありがたいです。よろしくお願いします。
納得次第、締め切ります。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

ご質問の問題は，不等式の問題で，いわゆる『因数分解』をするわけではありません．(無理やり複素数の範囲で因数分解すると,　今の場合役に立ちません[示せなくなる])
不等式の問題では，(通常)扱う文字x，y等は全て実数です．

x^2-(1+y)x+y^2-y+1
={x-(1+y)/2}^2-{(1+y)/2}^2 +y^2-y+1
={x-(1+y)/2}^2-(1+2y+y^2)/4 +y^2-y+1
={x-(1+y)/2}^2+(-1-2y-y^2+4y^2-4y+4)/4
={x-(1+y)/2}^2+(3y^2-6y+3)/4
={x-(1+y)/2}^2+3(y^2-2y+1)/4
={x-(1+y)/2}^2+3(y-1)^2/4
={x-(1/2)(1+y)}^2+(3/4)(y-1)^2
≧0
[∵x,yは実数より,　{x-(1/2)(1+y)}^2≧0,　(y-1)^2≧0]
ただし,　等号成立は,　x-(1/2)(1+y)＝0　かつ　y-1＝0　より　x=1,y=1 のとき．
よって,　題意の不等式は示された．

(補足)これは当然(3/4)(y-1)^2≧0　も言えて,　(0以上)＋(0以上)≧0　だからです．

お礼

またこちらのわからないところを的確に教えてくれてありとうです。
完璧にわかりました。
いまはコーシーシュワルツを勉強中です。
わからないことが出そうなので、よかったらまたよろしくお願いしますm(__)m。