因数分解について

質問

因数分解について

3x^3-5x^2-4x+4　の因数分解の方法を教えてください。

ちなみに答えは(3x-2)(x+1)(x-2)だそうです。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

整数係数多項式の根は、定数項の約数に限る…というよく知られた定理から、
4 の約数 ±1, ±2, ±4 が根かどうか、代入して確認すると、
f(x) = 3x^3-5x^2-4x+4 と置いて、f(-1) = 0 と f(2) = 0 が見つかる。
因数定理より、f(x) は (x+1)(x-2) で割り切れるから、実際に割ってみれば、
商は (3x-2)。すなわち f(x) = (3x-2)(x+1)(x-2)。

上記定理よりも、もう少し一般に、整数係数多項式が一次因数 ax+b を持てば、
b は定数項の約数、a は最高次項の係数の約数である。(証明は自分で！)
これより、整数係数多項式の有理数根は、定数項の約数／最高次項の係数の約数
という形をしていることが解る。これは、知っとくと便利。

お礼

勉強になります。
ありがとうございました。

回答No.4

kong_namul

3x^3-5x^2-4x+4
=x(3x^2-5x-4)+4
=x{(3x+2)(x-2)-x}+4
=x(3x+2)(x-2)-x^2+4
=x(3x+2)(x-2)-(x^2-4)
=x(3x+2)(x-2)-(x+2)(x-2)
=(x-2){x(3x+2)-(x+2)}
=(x-2)(3x^2+2x-x-2)
=(x-2)(3x^2+x-2)
=(x-2)(3x-2)(x+1)

３次関数を２次関数に落とすため、まずはｘでくくる。
２次関数になったところを因数分解し、余るか足りないかする分を加除する。
加除した部分をｘでくくった項の外へ出す。
出したものと、ｘでくくったときに余っていたものを因数分解。
共通項でくくって、共通でない部分を整理。
整理後のものを因数分解してできあがり。

お礼

勉強になります。
ありがとうございました。

回答No.3

Anti-Giants

発見的解法
3x^3-5x^2-4x+4
=3x^3-6x^2+(x^2-4x+4)
=3x^2(x-2)+(x-2)^2
=(x-2)(3x^2+x-2)
=(x-2)(3x-2)(x+1)

コツは、二次以下の部分をうまく作ること。
うまくいきそうにないなら、乗法定理とか使う。

お礼

勉強になります。
ありがとうございました。

回答No.2

info22_

f(x)=3x^3-5x^2-4x+4
とおくと
f(-1)=-3-5+4+4=0
因数定理よりf(x)は(x+1)で割り切れる。

強制的に高次の項から(x+1)の項を作っていき因数(x+1)を括りだす。
f(x)=3(x^2)(x+1)-8x^2-4x+4
=3(x^2)(x+1)-8x(x+1)+4x+4
=(3x^2-8x+4)(x+1)
タスキ掛け法を使って
=(3x-2)(x-2)(x+1)

お礼

勉強になります。
ありがとうございました。

回答No.1

jirafu2003

因数定理、数学IIの内容で解けます.F(x)=3X^3-5X^2-4X+4にＦ（－１）を代入して、Ｆ（－１）＝０ならば、因数をｆ（ｘ）が持つと言います。その後、Ｘ＋１で割り算が組み立て除法です。

お礼

勉強になります。
ありがとうございました。