三角関数

質問

sin2乗θ+2acosθ-3a-1=0を満たす角θが存在するためのaの範囲は？

質問：手元の解答では、cosθ=cとおいて、2つに場合分けをしています。わからないのは、そのうちの一方で、次の通りです。
「1つの解がc=-1」または「1つの解がc=1」または「1つの解が-1＜c＜1に、他の解がc＜-1、1＜cにある」とき

こんなのを頭の中で整理してやっているのでしょうか？自分にはできません。整理していく道筋を教えてください。

回答No.9

take_5 · ベストアンサー

同じ事を何度も言うと疲れるが。。。。。。笑い

＞はじめに解が1つの場合と2つの場合という発想があって、

それは正しい。

＞次にc^-2ac+3a=0の並びから推察して、

意味がわからない。

＞今回疑問に思ったような場合はないと限定でき、

参考書（？）の解答が紛らわしいのであって、c＝±1に何でそんなに固執するの？
最初に、「1つの解が-1≦c≦1に、他の解がc＜-1、or、1＜cにある時」と、言い直すとわかるだろうか？と言ったはずだ。

これで最後にしよう。
cについての2次方程式で、その解が｜c｜≦1の範囲にあれば良いんだから、解が2つある場合と、1つの場合とに分けて考える。
f（c）＝（c-a）＾2＋3a-a＾2のグラフを考えると、
2個の場合は（重解を含めて）、3a-a＾2≦0、f（1）≧0、f（-1）≧0、｜a｜≦1。
1個の場合は、f（1）*f（-1）≦0。何故なら、f（1）≧0、f（-1）≦0の場合と、f（1）≦0、f（-1）≧0の場合があるから。

お礼

解答の意味はわかりました。お手数をかけまして、すいませんでした。ありがとうございます。

回答No.8

take_5

やはりわかってないようだ。

＞c=1またはc=-1で重解をとるとき、あるいはc=1、-1が共に解であるとき、等号が成立して、f(1)*f(-1)≦0という条件を満たします。

例えば、c＝1の解を持つとしょう。
そのときは、a＝-1であるから、方程式は（c＋3）*（c-1）＝0となり、重解を持つことはない。
“c=-1で重解をとるとき、あるいはc=1、-1が共に解であるとき”こんな場合は発生しない。自分で確かめて見ると良い。

補足

はじめに解が1つの場合と2つの場合という発想があって、次にc^-2ac+3a=0の並びから推察して、今回疑問に思ったような場合はないと限定でき、はじめの発想で解答を進めていく。思考はそういう道筋をたどるということですか。

回答No.7

take_5

分ったような気になっているようだが、完全には理解していないようだ。

＞中身に2解や重解が含まれている以上、それを1解の場合としてくくってしまうという発想に至れないのではないか。そんなふうに思ってしまいます。

重解は解が2個の場合に含まれる。誤解のないように。

補足

c=1またはc=-1で重解をとるとき、あるいはc=1、-1が共に解であるとき、等号が成立して、f(1)*f(-1)≦0という条件を満たします。ピンとこなくて、すみません。

回答No.6

take_5

＞いろいろ考えているうちにこんがらがってしまいます。

もっとsimpleに考えたらいいだろう。
cについての2次方程式なんだから、｜c｜≦1の範囲という条件の下で、その範囲に実数解があれば2個（重解を含む）、or、1個のどちらか。
2個の場合は、判別式≧0、f（1）≧0、f（-1）≧0、｜軸｜≦1。
1個の場合は、f（1）*f（-1）≦0。

＞自分は、例えば「1つの解がc=-1」は、もう一方の解がc=1、-1(重解)の場合もあるとか

その場合も含めての話。

補足

なんとかわかりました。ただ、1個の場合は、一旦そのように仕切っておいて、中身にf(1)=0かつf(-1)=0、f(1)で重解、f(-1)で重解が含まれているので、気持ちとして整理しにくいところがあります。あるいは、初めの仕切りが今後の自分に再生できないのではないかと思ってしまいます。つまり、中身に2解や重解が含まれている以上、それを1解の場合としてくくってしまうという発想に至れないのではないか。そんなふうに思ってしまいます。

回答No.5

take_5

＞2つに場合分けをしています。

｜c｜≦1の範囲に、解が2つある場合と、1つの場合とに分けているんでしょう。
質問者は、解が2つの場合はわかるが、1つの場合がわからないと言ってるんでしょう。

＞「1つの解がc=-1」または「1つの解がc=1」または「1つの解が-1＜c＜1に、他の解がc＜-1、1＜cにある」とき

この解答は、親切に書いているつもりなんでしょうが、非常にわかりにくい。
「1つの解が-1≦c≦1に、他の解がc＜-1、or、1＜cにある」時と、言い直すとわかるだろうか？

私なら、そんな解き方はしない。
c＾2＝2a（c-3/2）但し、-1≦c≦1。y＝c＾2とy＝2a（c-3/2）のグラフが、-1≦c≦1で交点を持つときの直線の傾き2aの値の範囲を考えるね。

お礼

いつもありがとうございます。まだ二回目ではありますが。

補足

これは解が1つの場合と割り切ったものを言っているのでしょうか。自分は、例えば「1つの解がc=-1」は、もう一方の解がc=1、-1(重解)の場合もあるとか、いろいろ考えているうちにこんがらがってしまいます。

回答No.4

pontiac_gp

おそらくこんな風に悩んでるのですかね。

--------------------解答例
（式変形略）
cos^2θ -2acosθ + 3a = 0
c = cosθ, f(c) = c^2 - 2ac + 3a とおくと、
θが存在することはcの二次方程式f(c) = 0 が -1≦c≦1の範囲に
少なくとも1つ解を持つことと同値

ここで以下2通りに場合分けする。

Case1: f(c) = 0 が -1≦c≦1の範囲 に2実数解または重解を持つ場合
（中略）

Case2: 1つの解がc=-1 または1つの解がc=1または 1つの解が-1＜c＜1に他の解がc＜-1,1＜cにある場合
f(-1)×f(1) ≦ 0

（以下略）

---------------------

このCase2がやたらと複雑に見えているのではないですか？
この場合わけ条件はf(-1)×f(1) ≦ 0 そのまんまなのですよ。
慣れれば非常に便利なんですけど。

お望みなら説明しますがちょっと長くなるので取り合えず
ここまでの推測があってるか反応待ちます。

お礼

前回に引き続き、回答を寄せていただき、ありがとうございました。解説を伺いたかったのですが、締め切らせていただきます。

補足

ご推察の通りです。是非に教えてください。また、Case1で不等号にイコールがついていますが、Case2と両方についていていいのでしょうか？

回答No.3

info22

cの値とθとの対応は、単位円を書けば、混乱する事は無いでしょう。

参考URLから分かりやすそうなものを選んでご覧ください。
θとc=cosθの関係が分かってくるでしょう。
どんなcの値に対してどんなθが対応するか分かるでしょう。

http://www.altmc.jp/amc/practicum/primer/lessons/028/0179.html
http://oshiete.homes.jp/qa3704635.html
http://cosmath.jugem.cc/?eid=42
http://www.apec.aichi-c.ed.jp/shoko/kyouka/math/onepoint/ex66/sankaku_gr.htm
http://www.dbkids.co.jp/popimaging/seminar/frequency/index.htm
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/henkan.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/sankakukannsuu-no-teigi.html
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/henkan.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/tani-enn.html
http://alg.cias.osakafu-u.ac.jp/webMathematica/HighSchool/tri_graph/theme1.jsp

補足

自分の説明が不足していました。すみません。ご紹介いただいたサイトは今後に役立てます。ありがとうございます。

回答No.2

pontiac_gp

cosθ = c と置いた時点で
「 -1 ≦ c ≦ 1 じゃないと意味ないな」という意識があるからこそです。
cosθ = 2 を満たすθなんて存在しませんからね。

もう一方の場合わけも書いてもらえませんか。

補足

すいません。「解がともに-1＜c＜1にあるとき」です。

回答No.1

koko_u_

>こんなのを頭の中で整理してやっているのでしょうか？自分にはできません。
頭の中で出来ないなら、メモを取るなりすればよいだけです。
質問欄の場合分けのしかたはちょっと怪しいけど。

お礼

アドバイス、ありがとうございます。