三角関数の演算(三角比)

質問

皆様のお知恵を拝借したいです。

三角形ABCがある時、
sin^2 A + sin^2 B + sin^2 C = 2
がどんな三角形か考える、という問題があります。

(1)パッと見て、このままではイメージが掴めないので、2乗は避けたい、という意識を持ちました。
(2)最終的には
A、B、Cに関する三角比の積 = ±1　、　あるいは　A、B、Cに関する三角比の積 =0
になってくれればいいなぁ、という感じのイメージで計算を始めました。

最終的にはcosA・cosB・cosC=0となり、直角三角形が条件を満足することは分かるのですが、
この式に導くための演算に合理性が感じられません。

まず、(1)の方針で整理すると、cos2A+cos2B+cos2C=-1　という形で整理できます。(これはこれでとても綺麗な形です。)しかし、これでは左辺が和の形式なので、積に直したいというのが考えるところです。
ここで手詰まりになりました。積の形に組み合わせようとすると、右辺がうまくいきません。

(3)最終的に、2角の倍角の余弦を左辺に、1角の正弦の二乗を右辺に持って行くと、
例えば、
cos2A+cos2B = 2(sin^2 c -1 )
となり、
2(-cosC)・cos(A-B) = -2(cosC・cos(A+B))
右辺を左辺に移行して和積の形で変形することで
cosA・cosB・cosC=0とまとめることができました。

(3)はどうやって思いつくのでしょうか?(私はがむしゃらに色々試した結果、偶然出てくる、という盲撃ちのような形で導出しました。)
三角関数の演算でありがちなのですが、与式は様々な形に変形することができ、本質的には全て同じ値のはずです。しかし、演算者のちっぽけな脳みそのせいで、理解できる/利用できる値が限られてしまいます。理解できる/利用できる値に誘導するための方針が「計算テクニック」の類だとは思いますが、(1)、(2)はすぐに思いつくものの、(3)の考えには至りませんでした。

経験知の部分を問うような抽象的な質問で大変申し訳無いのですが、皆様のご意見をご教授頂ければ幸いです。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

A、B、Cは三角形の内角なので０より大きくπより小さいため、この範囲のｓｉｎやｃｏｓで０となり得るのはｃｏｓ(π/2)=０だけです。そこでなんとかｃｏｓの積＝０に持ち込めないかと考えました。sin^2Θ+cos^2Θ=1と加法定理だけを使った愚直な方法ですが…

まずA＋B＋C=π　からC＝（π-（A+B)) なので　sinC=sin(A+B)
sin^2A+sin^B+sin^2C=2　に代入すると

sin^2A+sin^B+sin^2(A+B)=2
sin^2A+sin^2B+(sinAcosB+cosAsinB)^2=2
sin^2A+sin^2B+sin^2Acos^2B+2sinAcosBcosAsinB+cos^2Asin^2B=2
(1-cos^2A)+(1-cos^2B)+sin^2Acos^2B+2sinAcosBcosAsinB+cos^2Asin^2B=2
cos^2A(sin^2B-1)+cos^2B(sin^2A-1)+2sinAcosBcosAsinB=0
-cos^2Acos^2B-cos^2Bcos^2A+2sinAcosBcosAsinB=0
2sinAcosBcosAsinB-2cos^2Acos^2B=0
2cosAcosB(sinAsinB-cosAcosB)=0
cosAcosBcos(A+B)=0

したがってA=π/2,またはB=π/2,またはA＋B=π/2(つまりC=π/2) 三角形ABCは直角三角形

お礼

>A、B、Cは三角形の内角なので０より大きくπより小さいため、この範囲のｓｉｎやｃｏｓで０となり得るのはｃｏｓ(π/2)=０だけです。そこでなんとかｃｏｓの積＝０に持ち込めないかと考えました。sin^2Θ+cos^2Θ=1と加法定理だけを使った愚直な方法ですが…

なるほど。この考え方なら納得出来ます。
どこかで計算間違いしそうですね…

回答No.2

alice_44

三角比を使うと、華麗な式変形ができる可能性はありますが、
その分、ひらめきを要します。ひらめかないタイプの人は、
地道な計算に打って出るのがよいと思います。

この問題の類題で言えば、正弦定理と余弦定理を使って
式から sin, cos を消し、辺長だけの関係式にしてしまう。
その後は、ただ因数分解をするしかやりようがないので、
一本道の計算になります。

お礼

ありがとうございます。
ひらめかないタイプなので、このやり方は参考になりました。
(計算量が肘ョゥに多くなりましたが…)

回答No.1

spring135

対称的な式を扱うコツの一つは途中で必ず対称性を壊すプロセスが入ることです。

この場合、A+B+C=π(180°)を使ってCを消去して考えます。

cos2A+cos2B+cos2C=-1　　(1)

において

cos2C=cos(2π-2(A+B))=cos2(A+B)

よって(1)は

cos2A+cos2B+cos2(A+B)=-1

cos2A+cos2B＝2cos(A+B)cos(A-B)

cos2(A+B)=2cos(A+B)^2-1

を用いて

2cos(A+B)cos(A-B)+2cos(A+B)^2-1＝-1

cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]=0

cos(A-B)+cos(A+B)=2cosAcosB

よって

cos(A+B)cosAcosB＝0

このままでも結果は出ますが

A+B=π-Cを使って

cosAcosBcosC=0

としてもいいでしょう。

＞(3)最終的に、2角の倍角の余弦を左辺に、1角の正弦の二乗を右辺に持って行くと、
例えば、
cos2A+cos2B = 2(sin^2 c -1 )

このあたりでA+B+C=πを使っているのでしょう。

これを使わなければ決して正解には至りません。

お礼

ありがとうございました。

>>対称的な式を扱うコツの一つは途中で必ず対称性を壊すプロセスが入ることです。
これは何故なんでしょうか。