三角函数の問題についてです。

質問

1/sinθ+1/cosθ＝３〈０°＜θ＜９０°〉とする　次の値を求めよ。

(1)sinθcosθ
(2)sin3乗θ＋cos３乗θ
(3)sin4乗θ＋cos４乗θ
以下の問題の解き方と解答を教えて下さい。　
アドバイスとして何かをtと置くと解けるらしいのですが。
お願いします。

回答No.2

info22_

(1)
1/sinθ+1/cosθ=3〈0°＜θ＜90°〉
sinθcosθ(>0)を掛けて
cosθ+sinθ=3sinθcosθ(>0) ...(A)
両辺２乗してsin^2(θ)+cos^2(θ)=1を用いて
1+2sinθcosθ=9(sinθcosθ)^2
sinθcosθ=t(>0)...(B)とおくと
1+2t=9t^2
9t^2-2t-1=0
2根の積=-1/9<0なので正と負の解をもつ。
t>0より正の方をとって
t=(1+√10)/9 ←(答え)

(2)
(1)の(A)に sinθcosθ=t=(1+√10)/9 ...(B)を代入して
sinθ+cosθ=(1+√10)/3 ...(C)

sin^3(θ)＋cos^3(θ)=(sinθ+cosθ){(sinθ+cosθ)^2-3sinθcosθ}
(B),(C)を代入して
={(1+√10)/3}{(1+√10)^2/9-(1+√10)/3}
=(1+√10){(1+√10)^2-3(1+√10)}/27
=(11+2√10)(√10-2)/27
=(7√10-2)/27

(3)
sin^4(θ)＋cos^4(θ)
={sin^2(θ)＋cos^2(θ)}^2 -2{sin(θ)cos(θ)}^2
=1^2-2(1+√10)^2/81
={81-2(11+2√10)}/81
=(59-4√10)/81

回答No.1

noname#190065

「2乗せよ、さらば与えられん」が鉄則です。これで、(1)は解決です。(2)も３乗してみようかと思いつきます。もちろん因数分解を部分的に施せばできます。(3)４乗してもいいのですが、ちょっとつらいかも。ならば求めたい式を部分的に因数分解してみると解決します。