逆演算子を用いた一般解のもとめかた。

質問

y'' + ay' + by = (xの多項式)という問題の一般解を求めるもんだいなのですが・・・・・

y''-3y+2y = x^2の一般解を求めよとの問題で、
まずy''-3y'+2y=0としてy=e^λxを代入して得られる解が
y=C1e^2x + C2e^x
となるのですがこのあと逆演算子Dy=y'として
(Dy)^2-3Dy+2y=x^2
(D-1)(D-2)y=x^2
(D-1)y = {1/(d-2)}x^2 = e^2x∫{e^(-2x)}(x^2) dx
となってしまい∫e^(-2x)x^2の積分ができません。（おそらく部分積分を使えばできそうなのですが・・・・）

このようなことを回避する方法ってありますか？
ないのなら∫e^(-2x)x^2を積分するしかないのでしょうか？

回答No.2

Meowth · ベストアンサー

(Dy)^2-3Dy+2y=x^2
(D-1)(D-2)y=x^2
y=x^2/((D-1)(D-2))
= x^2/(D-2)-x^2/(D-1)
=e^2x∫e^(-2x)x^2dx-e^x∫e^(-x)x^2dx

∫e^(-2x)x^2の積分はできます。
部分積分を使えばできます。
このようなことを回避する必要はありません。
e^2x∫e^(-2x)x^2dx
=-(x^2+x+1/2)/2 e^(-2x)e^2x=-(x^2+x+1/2)/2
-e^x∫e^(-x)x^2dx
=x^2+2x+2

回答No.1

aiueo95240

(D-1)(D-2)y=x^2

(D-1)y=1/(D-2) x^2
=(-1/2)(1-D/2+D^2/4+...) x^2
=(-1/2)(x^2-x+1/2)

等とすれば謂い