2階線形微分方程式の解法

質問

受験生です。
ずっと昔の大学入試問題です。答えがなく、悩んでいます。

d^2y/dx^2-(a+b)(dy/dx)+aby＝0 (ただしdyやdxは微分演算子です)

なのですが、おそらくa＝bとa≠bとで分けるのだと思いますが、
両者ともどのようにして解けばよいのか分かりません。
解だけは載っていまして、
y=A*exp(ax)+B*exp(bx)とy=(Ax+B)*exp(ax)
でした。

とりあえず私はa=bのときをやってみまして、
(d/dx-a)^2y=0と形式的に書き直して、
(d/dx-a)(dy/dx-ay)=0
とし、
(dy/dx-ay)＝zとおいて

・(d/dx-a)z=0
・(dy/dx-ay)=z
を満たす解を探そうとしました。
上の方の式は直ぐにz=exp(ax)と出ましたが、
これを下の式に代入した後が分からなくなってしまいました。

勉強した範囲では、一階や二階の微分方程式の解は
一般解と特殊階の和で表せるということでしたが、それを元に
考えてみてもここから進みません。

質問は、以上の行き詰ってしまった所から先の解法と、
もうひとつの解であるy=A*exp(ax)+B*exp(bx)の導出方法です。

詳しい方、ご教授お願いできませんか。

回答No.1

spring135

係数が定数の微分方程式は解法が決まっていて、その証明は大学で学ぶ初歩の微分方程式の教科書等にでていますから、参考にしてください。ここではＤメソッド（他の呼び方があるかもしれません）といわれる演算子法の簡単なケースだけ述べます。
微分演算子d/dxをDで表します。 d^n/dx^n=D^n。
d^2y/dx^2-(a+b)(dy/dx)+aby＝0はDを未知数と見立てた方程式
　D^2-(a+b)D+ab=0　　　(1)
の根をα、β(α、βは異なる）とするとき
一般解はｙ=cexp(αx)+dexp(βx)で表される。ただし(1)が重根γを持つ場合はexp(γx)とxexp(γx)が素解になり（代入すればわかります）
一般解はｙ=cexp(γx)+dxexp(γx)
となります。
この方法はもっと高次の方程式でも係数が定数である限り成り立ちます。

お礼

回答ありがとうございます。
つまり、微分方程式はある程度の解の形を覚えておいて、
その都度そこに当てはめて考えてみるということでよろしいのでしょうか。