演算子法について

質問

x^3(d^3y/dx^3)-3x^2(dy^2/dx^2)+6x(dy/dx)-6y=2x^4e^xの特殊解を演算子法で求めることはできますか。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足質問について

>このような変数係数の場合に特殊解を求める定石にはどのようなものがありますか。

特殊解の名のとおり、微分方程式の特殊な解を１つ見つければ良いので、定石はありません。微分方程式の右辺と、左辺の最高階微分項とyの項から、特殊解の形を大雑把に推定して、微分方程式に代入して問題がなければそれが特殊解の１つということです。特殊解は他にもあるかもしれないが、どれか1つだけ求めれば良いということです。特殊解は、たまたま、偶然に見つけた、解の１つと言った捉え方で結構です。偶然思いついた特殊解候補を試行して、ダメだったら、また別の特殊解候補を考えて、当たればOKということです。ただ、がむしゃらに候補を試すのではなく、候補は右辺の関数の形と左辺の最高階の項やyの項と比較して類推します。

今回の問題では、右辺をみて特殊解にe^xの項が含まれること。e^xにかかるx^4の項と最高階の微分項「x^3(d^3y/dx^3)」と比較すると、この項から右辺のx^4の項が出るにはyにxの一次の項があればよかろうと推測し、
特殊解の形として候補を「y=axe^x」として見ましょう。
この特殊解候補を微分方程式の左辺に代入して計算すると
　左辺=a(x^4)e^x となります。
　右辺=2(x^4)e^x　ですから、a=2としてやれば特殊解となります。
つまり候補の「y=axe^x」でa=2とおいた「y=2xe^x」が特殊解（の１つ）となります。

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.2

info22_

演算子法は定数係数の非同次形の線形微分方程式の特殊解を求めるための技法なので、演算子法は直接使えません。
置換等によって定数係数の非同次形の線形微分方程式に変形できれば、それに対しては演算子法が適用可能となります。

補足

そうでしたか。では、このような変数係数の場合に特殊解を求める定石にはどのようなものがありますか。。

回答No.1

spring135

y=xuとおく

y'=xu'+u

y''=xu''+2u'

y'''=xu'''+3u''

これをもとの式に代入すると

u'''=2e^x

u=2e^x+ax^2+bx+c

y=2xe^x+ax^3+bx^2+cx

補足

回答ありがとうございました。質問ですが、なぜ、y=xuと置いたのでしょうか。