微分方程式の演算子法

質問

dy/dx=Dy,d^2y/dx^2=D^2y
Dを演算子とします。
(2D^2+2D+3)y=x^2+2x 解:exp^(-1/2x){Asin(√5/2)x+Bcos(√5/2)x}+1/3x^2+2/9x-16/27
の特殊解の求め方がわかりません。
特性方程式が因数分解できない(複素数になる)と、
公式に当てはめられず解けなくなってしまいます。
どなたか教えてください。

回答No.4

noname#29127 · ベストアンサー

さらに簡単な方法を求めて、四度目の正直です。

「べき級数展開」という手法を利用します。

(2D^2 + 2D + 3)y = x^2 + 2x
y = (x^2 +2x)/(2D^2 + 2D +3) --- (1)

1/(2D^2 + 2D + 3) --- (2)
をDの二次まで展開します。
その前に式(2)を変形をして
(2)= 1/ 3 / (1 + 2/3D + 2/3D^2) --- (2)'
という形にします。
分母を1で始めるようにするのが「こつ」です。

(2)' = 1/3*(1 - 2/3 D + (4/9 - 2/3)D^2 + ......)
分母のDの計算が分子のDの計算に変形できました。
「べき級数展開」です。

何故こうなるのかは、1を(1 + 2/3D + 2/3D^2)で割り算をして
みてください。下が計算の様子です。数字の割り算と似ています。

。。。。。。。。。1-2/3D+....
。。。。。。。。。__________________
1+2/3D + 2/3D^2 | 1
。。。。。。。。。1+2/3D+2/3D^2
。。。。。。。。。-----------------
。。。。。。。。。。-2/3D-2/3D^2
。。。。。。。。。。-2/3D-(2/3)^2D^2-(2/3)^2D^3
。。。。。。。。。------------------------
。。。。。。。。。。。。。(4/9-2/3)D^2....以下略

結局(1)式は
y = 1/3 (1 - 2/3D + (4/9 - 2/3)D^2)(x^2 + 2x)
となります。
y = 1/3 (1 - 2/3 D - 2/9 D^2)(x^2 + 2x)

これは普通にxの次数毎に微分計算をしていき
y = 1/3{(x^2 - 4/3x -4/9) + (2x-4/3)}
=1/3 (x^2 +2/3x -16/9)
= 1/3 x^2 +2/9x - 16/27

比較的スムーズにでました。これでぐっすり眠れそうです。

お礼

遅くまでお疲れ様です。
丁寧な回答ありがとうございました。
とても見やすくわかりやすい回答ですね。
私はどうも、[べき級数展開]の部分でつまづいていたようです。
丁寧な回答でよくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#29127

演算子法での解き方を考えてみました。

式は
(x^2 + 2x)/ 2 / (D-k) / (D-m) = y ---- (1)
とおけます。

ここで 2 * (D-k) * (D-m) = 2D^2 + 2D + 3 です。
解の公式より
k = -1/2 + √5i/2,
m = -1/2 - √5i/2
ですが、これは最後の方で使います。

解く際に
1/(D-k)x^2 = -1/k^3 (k^2 x^2 + 2kx + 2) --- (2)
1/(D-k)x = -1/k^2 (kx + 1) --- (3)
1/(D-k)1 = -1/k --- (4)
を今後の計算で使います。

(上の式は 1/(D-a) x = -1/a (1 + D/a + (D/a)^2 + .....)x と用いて
計算できます。Dは右側のxの次数に応じて、切り捨てます。)

(1)の式に関して、まず(D-k)について解きましょう。

(x^2 + 2x)/ 2 / (D-k) / (D-m) = y ---- (1)
簡単のため
(x^2 + 2x) / (D-k) * L = y --- (1)'
とします。 (ここで L= 1/ 2 /(D-m) )

(2)式と(3)式を用いて(1)'式は
( - 1/k^3 (k^2x^2 + 2kx + 2) - 2* 1/k^2 (kx + 1) )*L
となります。
xの次数別の整理して

( -(1/k)x^2 +(-2/k^2 -2/k)x +(-2/k^3 -2/k^2) )*L
となります。

分かり難いため上式を
(A x^2 + B x + C) * L とします。
A = -1/k
B = (-2/k^2 -2/k)
C = (-2/k^3 -2/k^2)です。

(A x^2 + B x + C) * LのLを元の式(L=1/2/(D-m))に戻します。

=(A x^2 + Bx + C)/ 2 / (D-m)

ここで、D-mについて(2)式,(3)式,(4)式を使って計算します。

= -A/(2m^3)(m^2x^2 + 2mx + 2) -B/(2m^2)(mx+1) -C/2m --- (5)

ここで(5)式をxの次数別で見て行きます。

----------------------
x^2の部分は

-A / (2m) となりますが、A=-1/kだったので
= 1/2 (-1/m)(-1/k) --- (6)
となります。
ようやくここでm,kの値を使います。
m*k = (-1/2 + √5i/2)(-1/2 - √5i/2) = 1/4 + 5/4 = 3/2
で
(6) = 1 / 2 / (3/2) = 1/3 となります。

----------------------
(5)式においてxの係数は

-A/(m^2) - B/(2m)
=-1/(2 m^2)* (2Ax + Bm)
A,Bを代入して

=-1/(2m^2)*(2 (-1/k) + (-2/k^2 - 2/k)m)
=1/(m^2 k^2) (k + m + mk) --- (7)

ここで
k+m = (虚数が消えて) -2/2 = -1
m*k = 3/2

(7) = 1/( (3/2)^2 ) * (-1 + 3/2)
= 4/9 * (1/2)
= 2/9
---------------------

x^0の項も同様に計算すれば特解がでてきます。

長くなってしまいましたが。

もっと簡単な方法があればいいですが。

回答No.2

noname#29127

No.1の続きです

(1)の右辺が x^2 + 2x となるため特解は

y1 = cx^2 + dx + eと与えられます。

これを微分しましょう。

D y1 = 2cx + d
D^2 y1 = 2c

-------

y1, D y1, D^2 y1を(1)式の左辺に代入します。

2*2c + 2*(2cx + d) + 3*(cx^2 + dx + e) = x^2 + 2x
整理して

3cx^2 + (4c + 3d)x + (4c + 2d + 3e) = x^2 + 2x
左辺と右辺の次数を比較して

3c = 1
4c + 3d = 2
4c + 2d + 3e = 0
の式ができます。

これを解くと
c = 1/3
d = 2/9
e = -16/27
が得られます。

すなわち、特解は 1/3 x^2 + 2/9 x + -16/27で与えられます。

No.1の解とあわせて

y = e^{-1/2 x} (Acos(√5/2)x + Bsin(√5/2)x)
+ 1/3 x^2 + 2/9 x + -16/27

となります。cos,sinの記載が逆ですが、A,Bを入れ換えれば
いいでしょうか。

もっとスマートな解き方があるのかもしれませんが、現状分かる
方法はこういった感じです。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
そのような方法もあるのですね。
早速やってみます。
丁寧な回答なのに大変申し訳ないのですが、
演算子法を使った解き方も知りたいと思い、質問しました。

回答No.1

noname#29127

途中までですが、

(2D^2 + 2D + 3)y = x^2 + 2x --- (1)
に関して、右辺を0として考えます。

(2D^2 + 2D + 3)y = 0

ここで解の公式を用いると

D = -1/2 +- √5*i/2

この場合の解は D= a +- b iとして考えた場合

y = e^{ax} (Acos(bx) + Bsin(bx))として与えられます。
実際にa(=1/2)とb(=√5/2)を与えると

y = e^{-1/2 x} (Acos(√5/2)x + Bsin(√5/2)x)
となります。

参照 :: http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bi2.pdf

---------

この後ですが、(1)式がx^2 + 2xで与えられるため
特解は c x^2 + d x + e で与えられます。

この後の計算は、ちょっとわかってから書きます。(私自身
勉強中のため...)