連立常微分方程式の一般解について！

質問

連立常微分方程式の一般解を消去法で求める問題なのですが、解き方を教えていただきたいです。

・Ｄｙ1＋ｙ2＋ｙ3＝0
・ｙ1＋Ｄｙ2＋ｙ3＝sinx-cosx
・ｙ1＋ｙ2＋Ｄｙ3＝2sinx

ただし、ｙ1＝ｙ1(x),ｙ2＝ｙ2(x),ｙ3＝ｙ3(x),Ｄ＝d/dx

宜しくお願い致します。

回答No.2

Tacosan

#1 がスマートだけど泥臭く「適当に微分しながら変数を消す」という方針でもできるね. 例えば上の 2つの式を微分してやると全ての式に Dy3 が現れるので消せる. できる式をさらに微分していくと y3 も消せて, y1 に関する 3階微分方程式ができる. たぶん.

回答No.1

FT56F001

いろんなやり方がありますが;
まず，三式を足して，y4=y1+y2+y3に関する一階線形微分方程式
y4+Dy4=3sinx-cosxを作る。
これを解いて，y4=y1+y2+y3の解y4=C*exp(-x)+sin(x)-2*cos(x)を得る。
それぞれの式との差をとると，各変数に関して一階微分方程式
Dy1-y1=-C*exp(x)-sin(x)+2*cos(x)
Dy2-y2=sinx-cosx-C*exp(x)-sin(x)+2*cos(x)
Dy3-y3=2sinx-C*exp(x)-sin(x)+2*cos(x)
が得られる。
それぞれの一階線形微分方程式を解く。