級数解の問題で

質問

たとえば
x^3(d^2y/dx^2) + x^2(dy/dx) + y =0

x^2(d^2y/dx^2) + dy/dx + x^2y=0

で級数解を得ることが可能かどうかを決定する問題でまず何をして証明したらいいのでしょうか？この手の問題がいっぱいあるのですが、例として上の問題を教えていただきたいです。お願いします。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

2階の線形方程式
　x^2 y" + x p(x)y' + q(x)y = 0
で、p(x), q(x)がx=0で正則である時、x=0は確定特異点であると言います。このとき
　y= x^λ{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + …}
の形の解が定まります。p(x), q(x)がx=0で正則なので
　p(x)= p_0 + p_1 x + p_2 x^2 +
　q(x)= q_0 + q_1 x + q_2 x^2 +
として方程式に代入し、各ベキの係数を0と置くと、λとa_kを決定する漸化式が得られます。一方、p(x), q(x)がx=0で正則でない時は不確定特異点であると言います。このとき解は決まりません。
　x^3(d^2y/dx^2) + x^2(dy/dx) + y =0

　x^2(d^2y/dx^2) + dy/dx + x^2y=0
はいづれもx=0が不確定特異点になっていますので解は決まりません。

お礼

いつもお世話になります。なんとかできそうです！ありがとうございました。