線形作用素とシュレーディンガー表現

質問

清水明著　新版量子論の基礎p117からの話なのですが、

一般化座標qに対応する演算子をQとして、
一般化運動量pに対応する演算子をPとします。

Q|q> = q|q>

となります。さて状態ベクトルを

|ψ> = ∫dq ψ(q)|q>

と書くと、

Q|ψ> = ∫dq ψ(q)q|q>

となるそうですが、ここで１つ目の疑問があります。
Qはψ(q)には全く作用しないと考えてよいのでしょうか？
演算子Qは線形作用素だから、|q>のみに作用すると
考えるのでしょうか？
そうなりますと、

P|ψ> = ∫dq ψ(q)P|q>

となるはずです。だから

(QP-PQ)|ψ> = ∫dq ψ(q)(QP-PQ)|q> = ih ∫dq ψ(q)|q>

と計算されます。これを波動関数の積分として眺めなおすと、

Q|ψ> という計算は qψ(q)になっている。
P|ψ> という計算は -ih ∂ψ(q)/∂q に対応させると

(QP-PQ)|ψ> という演算は、ちゃんとih ∫dq ψ(q)|q>と計算できる。

つまり、|q> に演算子を作用させることは、実質的には
ψ(q) にqをかけたり、qで偏微分したりすればよくなる。

気になるのはPはもともと線形作用素でψ(q)には作用しない
はず（と理解しています）なのに、結局波動関数の演算に
置き換えたときには-ih ∂ψ(q)/∂q となってψ(q)にまともに
作用しているということです。どうもすっきりしません。
よろしくお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>Qはψ(q)には全く作用しないと考えてよいのでしょうか？
>演算子Qは線形作用素だから、|q>のみに作用すると
>考えるのでしょうか？
そうです。

>P|ψ> = ∫dq ψ(q)P|q>
>となるはずです。
なります。

>気になるのはPはもともと線形作用素でψ(q)には作用しない
>はず（と理解しています）なのに、結局波動関数の演算に
>置き換えたときには-ih ∂ψ(q)/∂q となってψ(q)にまともに
>作用しているということです。

荒っぽい説明ですが、
部分積分してやれば、|q>の微分をψ(q)の微分に書き換える事ができますよね。

お礼

どうもありがとうございます。
演算子QやPが|q>にのみかかるというのが確認できて
とても助かりました。
部分積分をしますと、、、確かにそうですね、
|q>の微分がψ(q)の微分に置き換わりました!(@ @;)

量子の振る舞いは確かに不思議で難しいのですが、
量子論を構築した人たちの頭のほうがもっと不思議に
思えるようになった今日このごろです(^^)
ありがとうございました！