クォータニオンの計算？

質問

相当難しいです・・・。
ｑ＝(cosθ/2,n*sinθ/2)

nは単位ベクトル(nx^2+ny^2+nz^2＝1)

p＝(0,P) 　　P＝P1+P2＝n*P1+P2

qp＠(＠はqの上にバーがついているやつ)を計算して、
qp＠＝P1+P2*cosθ+n*P2*sinθ となることを示せ。

2つのクォータニオンの積は次式で与えられる。
p＝(a,u)＝a+u　　q＝(b,v)＝b+v
pq＝(a*b-u*v,a*v+b*u+u*v)＝a*b-u*v+a*v+b*u+u*v

q、n、P、p、P1、P2、＠、u、vは太字になっています(ベクトル？)

授業で扱っていないのにいきなりレポートとして出されて、解き方の糸口が見つからずに困っています。よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

あ～, 「n 方向を軸として p をθだけ回転する」ってやつね....
「超複素数入門」(森北出版) って本で見た記憶があります. この本は手元にあったはずですがちょっと見付かりませんでした.
まあ, 基本的には両辺を努力と根性で展開すればできるはずです. 面倒なら, 「n 方向」と「n に垂直な方向」に分解した上で, (前者は簡単なので) 後者を考えてもいいです.
上の本では四元数 (クオータニオン) を「スカラ部+ベクトル部」で表現しています. スカラ部が実部, ベクトル部が虚部に対応するんですが, p, q ともにスカラ部 (実部) が 0 のときに pq を計算すると, スカラ部が p と q の内積 (の符号反転), ベクトル部が p と q の外積になります. これを使うと, 計算が簡単になるかもしれませんしならないかもしれません.

回答No.2

Tacosan

そうそう, p として n に垂直なベクトルをもってくると, いわゆる「ベクトル三重積」になるので展開形をどこかで調べておくと楽かも.