一次元の井戸型ポテンシャル中の自由粒子についてハミルトニアンを導くとこ

質問

一次元の井戸型ポテンシャル中の自由粒子についてハミルトニアンを導くところなんですが

全エネルギー E = p^2 / 2m + U(x) --(A)
p <- -ih d/dx (hは棒付き） --(B)
∴
H^ = (-h^2 / 2m) d^2/dx^2 + U(x) --(C)

において、

(1) (B)運動量演算子 -ih d/dx がいきなりでてくるのがわかりません。教科書など見てもこの導き方が載っていません
この運動量演算子というのは波動関数に作用させると運動量になるというものなのでしょうか

(2) (C)ハミルトニアンは演算子なのに、U(x)の部分はただのスカラーになっていますがいいのでしょうか

(3) (1)で運動量演算子を波動関数に作用させたものが運動量ならば、波動関数に(C)を作用させたものは、（運動エネルギー）＋（ポテンシャルエネルギー×波動関数）になってしまいませんか？
そうするとシュレーディンガー方程式は　（運動エネルギー）＋（ポテンシャルエネルギー×波動関数）＝（全エネルギー×波動関数）
となって、次元が合わないような状況になってしまいませんか？

質問の意味がわからなかったらすぐ補足するので、1つでもいいので教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

c80s3xxx · ベストアンサー

(1) 導き方はないのです．この演算子が運動量に対応するということは，ほとんど直感的に提出され，それで矛盾がないことだけが確かめられているのです．
(2) スカラー量で記述される演算子というだけのことです．
(3) 波動関数には空間の逆数のそのまた1/2乗の次元を持っているだけです．二乗して(あるいは共役関数との積を取って)全空間で積分すれば確率になることから明らかです．一般には演算子を作用させて積分することで目的の物理量になるのです．

お礼

ありがとうございました
すっきりしました