ブラケット記法がわかりません

質問

いつもお世話になっています。
参考書読めば済んでしまう話とは承知しつつ、簡単なことだとも思うので、よろしくお願いします。

PとQはそれぞれ運動量、位置に対応する演算子だと思うのですが、
<x|Q＝x<x|
<x|P＝-ih∂<x|
となる、と教科書にありました。（hは2πで割ったやつです）
真空状態の波動関数を求めるのにΦ_0(x)=<x|0>とおいて、<x|a|0>=0と消滅演算子aをP、Qで表すことを用いて、方程式を導出しています。

物理になれてないので、混乱しているのですが、<x|Q|0>=x<x|0>がまったく理解できません。状態ベクトルはxの関数と思っているのでしょうか？それとも単なる抽象的なベクトルと思っているのでしょうか。0とかxとかがベクトルであったり、スカラーであったり、あるいはスカラー変数であったりといろんなように見えて、わけがわからなくなってしまってます。

回答No.2

connykelly · ベストアンサー

図書館でファインマン物理学V　量子力学（岩波）を参照されるか、ココ↓が参考になるかもしれません。
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/CoffeeBreak.html

お礼

どうもありがとうございました。ブラケット記法ってあまりによく出来すぎていて難しいですね。少し自己流に考えてみて、<x|P=<x|P・1=<x|P∫dx|x><x|=P<x|となるんだろうな、とは思っていたのですが、最後の等式の変形が、運動量演算子が位置ケットに微分で作用するというのが定義なのか、定理なのかいまいち判然としなくて、理解に苦しんでいました。なんとなくわかった気になれました。

回答No.1

noname#21219

l0>も 、<xlも共にベクトルです。
無限次元のベクトルです。ですから、<xl0>
というのは、ベクトルの内積なのでスカラーに
なるかと思います。Φ_0(x)=<xl0>となるからには
Φ_0(x)というのは、スカラーなのですがこれは
『あるxにおけるΦ_0(x)の値』がスカラーという
ことです。ですから、Φ_0(x)という「関数全体」
は、ベクトルになるかと思います。xの細かい値につき、成分があるベクトルでしょう。

l0>というのは、直交する基底ベクトルはなんだか分からないけどとりあえず、真空の基底状態として
こういうベクトルを定義しておこうということです。

<xlは、基底ベクトルが位置の物理量だとはっきりしています。おそらく、<xlという無限次元のベクトル
は、あるxの値における成分のみ1で
ほかの成分は0という描像ではないでしょうか。
3次元でいうi,j,kに対応すると思います。

ベクトルに行列をかけると、ベクトルが回転したりする変換を受けます。同様に、<x|Q＝x<x|なども、
<xlという無限次元のベクトルが、Qという行列により
変換を受けあるベクトルになるということです。
ですが、この場合は<xlという基底ベクトルは回転を受けないことを示しています。x倍されるだけです。
ややこしいですが、<xlという無限ベクトル自体の大きさ
は1ですが、そのラベルである「xという値」を各基底ベクトル<xlにおのおのかけるということでしょう。

真空の基底状態l0>は、位置の関数として表すと、
おのおののxの値につき、<xl0>=Φ_0(x)という成分
を持つベクトル、という解釈です。l0>自体は
xの関数でもなんでもなく、漠然としたベクトルでしょうね。

お礼

ありがとうございました。|0>=∫|x><x|0>と展開して、位置ケット|x>の成分が波動関数Φ_0のxでの値Φ_0(x)を与えていると思うわけなんですね。そしてQは|x>成分にはx|x>で作用するということなんですね。位置ケット|x>が位置演算子の固有状態である、という約束をよく知らなかったために混乱していました。

補足

ありがとうございます。|x>と書くからに|x>はＱの固有状態である、と認識すべきなのでしょうか。

運動量演算子の方はどう解釈したらよいでしょうか？正準量子化してＰ＝-ih(d/dx)とあらわしていると思いますが、これも状態ベクトル|x>や|0>に作用して変換を表すわけですよね？xで微分するというからには位置に関する微分なわけで、たとえば|0>は具体的にどのような変換を受けるのでしょうか？