多粒子系の量子力学でよく見る置換Pについて質問です。

質問

多粒子系の量子力学でよく見る置換Pについて質問です。
同一粒子系で2つのn粒子状態の内積を計算する過程で画像(『ファインマン統計力学』より)のような部分がありました。
二行目から三行目は『各内積をPにより並びかえる』
三行目から四行目は『ζ^P=ζ^(p^(-1))およびζ^Qζ^P=ζ^(QP^(-1))から』
四行目から五行目は『P=QP^(-1)とおく』
と説明がありました。
分からないところはまず、
(1)二行目から三行目の書き換え
　P^(-1)の意味と、なぜケットの添字がQP^(-1)となるのかわかりません。

(2)三行目から四行目の書き換え
　ζ^P=ζ^(p^(-1))、ζ^Qζ^P=ζ^(QP^(-1))を使っているわけですが、どうしてこうなるのか分かりません。

(3)四行目から五行目の書き換え
　R=QP^(-1)と置いたときQに関するΣがRに関するΣに置き換わっている理由が分かりません。

どうかよろしくお願いします。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

>この一連の操作をしたときになぜψの添字がQP^(-1)になるのかが分かりません。
何が分からないのかが分からないのですが、例えば、P(i)=1だとすれば
・i=P^(-1)(1)であること
・3行目の最初の項は<1|Q(i)> = <1|Q(P^(-1)(1))> = <1|QP^(-1)(1)>である事
は分かりますか。
※式が複雑になるので、式中のφは省略しました。つまり、|φ_j>を単に|j>などと書きました。

>ζは+1または-1です。
いや、だから符号なんですよね。
そもそも、符号の定義はご存知ですか？つまり、ζ^Pはどういう時に+1で、どういう時に-1になるんですか。

>代数的な指数法則には反しているので途中の論理展開が分かりません。
「代数的な指数法則」とは何の事を言っているのでしょう？

お礼

>何が分からないのかが分からないのですが、例えば、P(i)=1だとすれば
・i=P^(-1)(1)であること
・3行目の最初の項は<1|Q(i)> = <1|Q(P^(-1)(1))> = <1|QP^(-1)(1)>である事
は分かりますか。

「φの添字を若い順に並べ替えると、なぜψの添字はQP^(-1)になるのか」が分からなかったのですが、おそらくこの説明で理解できました。ありがとうございます。

>いや、だから符号なんですよね。
そもそも、符号の定義はご存知ですか？つまり、ζ^Pはどういう時に+1で、どういう時に-1になるんですか。
はい。符号です。ζ^Pの場合のPは偶置換か奇置換だと思っているのですが、間違っているでしょうか？Pが偶置換のときζ^p=ζ^(2n)、奇置換のときζ^(2m-1)と考えています。

>「代数的な指数法則」とは何の事を言っているのでしょう？
私が言いたいのは
ζ^pζq=ζ^(p+q)
のようなことです。演算子が肩に乗っているとこうはならないんですか？

回答No.3

eatern27

>はい。符号です。ζ^Pの場合のPは偶置換か奇置換だと思っているのですが、間違っているでしょうか？Pが偶置換のときζ^p=ζ^(2n)、奇置換のときζ^(2m-1)と考えています。
う～ん、変な書き方なのですが(n,mが何なのか、ζ^(2n),ζ^(2m-1)のζが何なのかとかが不明)、上手く言葉に書けなかっただけなのかなぁ。。。
Pが偶置換の時にζ^P=+1、奇置換の時にζ^P=-1ですね。

>ζ^pζq=ζ^(p+q)
>のようなことです。演算子が肩に乗っているとこうはならないんですか？
ζ^Pというのは「ζのP乗」ではなくて、「Pの符号」という意味だという事はＯＫ？
「ζのP乗」と似た部分があるので、ζ^Pのような書き方をしているのでしょうが、そう書く必然性はないし、基本的には別物ですよ。

>ζ^P=ζ^(p^(-1))
これいついては符号の定義、偶置換/奇置換の定義が分っていれば聞くまでもないはず。

>ζ^Qζ^P=ζ^(QP^(-1))
については、上の式と、ζ^Pζ^Q=ζ^(PQ)が分っていれば出てくるでしょう。これも符号、偶(奇)置換の定義から考えれば容易です。

回答No.1

eatern27

>(1)二行目から三行目の書き換え
>　P^(-1)の意味と、なぜケットの添字がQP^(-1)となるのかわかりません。
P^(-1)はPの逆写像です。

例えば、
(2,4),(1,3),(4,2),(3,1)
というのを、左の数字が若い順番に並び替えると、
(1,3),(2,4),(3,1),(4,2)
という風になる事は分かりますよね？
やっているのはこれと同じ事で、左側の添え字(２行目でPのある側)が若い順番に並び替えているだけです。

>　ζ^P=ζ^(p^(-1))、ζ^Qζ^P=ζ^(QP^(-1))を使っているわけですが、どうしてこうなるのか分かりません。
ζって何ですか。符号とかだったらほぼ自明では。

>(3)四行目から五行目の書き換え
>　R=QP^(-1)と置いたときQに関するΣがRに関するΣに置き換わっている理由が分かりません
Qがn文字の置換全体を動けば、R=QP^(-1)もn文字の置換全体を動くので。

お礼

回答ありがとうございます。

>例えば、
>(2,4),(1,3),(4,2),(3,1)
>というのを、左の数字が若い順番に並び替えると、
>(1,3),(2,4),(3,1),(4,2)
>という風になる事は分かりますよね？
>やっているのはこれと同じ事で、左側の添え字(２行目でPのある側)が若い順番に並び替えているだけです。

それは分かります。この一連の操作をしたときになぜψの添字がQP^(-1)になるのかが分かりません。一般的な形でそのようになることを示す方法はないでしょうか？

>ζって何ですか。符号とかだったらほぼ自明では。
ζは+1または-1です。代数的な指数法則には反しているので途中の論理展開が分かりません。