幾何学です。あるとき放物線の弦ＰＱが定点を通ることを証明したいのです。

質問

放物線y^2=4px（ｐは０でない）の弦ＰＱの両端と頂点Ｏを通る線分ＰＯ、ＱＰが直交するならば、弦ＰＱは定点を通ることを証明し、その定点を求めなさいという問題があるのですが、どうやってといたらいいかも思いつきません。
定点を(a,b)とおくのは無理ですよね。。。Ｐ、Ｑのｙ座標をそれぞれａ、bとおきPQやPO、QOの方程式をもとめて・・・という方法もやってみたのですがわかりません。。。
誰か教えてください＞＜

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

Ｐ(pα＾2、2pα)、Ｑ(pβ＾2、2pβ)　(α≠β)とする。α≠0、β≠0.
直線ＯＰはy＝(2/α)*x、直線ＯＱはy＝(2/β)*xであるから、条件よりαβ＝-4.　‥‥(1)
直線ＰＱは　(α＋β)y＝2(x-pα＾2)＋2pαであるから、これに(1)を代入してβを消すと、yα＾2＋2(4p-x)α-4y＝0.
これが任意のαについて成立するから、y＝0、4p-x＝0.
従って、定点は(4p、0)。

お礼

ａについての恒等式をつくればよかったんですね！
わかりやすい説明ありがとうございました。

回答No.5

info22

補足します。

質問の問題の
＞弦ＰＱの両端と頂点Ｏを通る線分ＰＯ、ＱＰが直交するならば
「線分ＰＯ、ＱＰが直交するならば」、弦ＰＱは定点を通りません。

問題を以下のように「ＱをＯに訂正」すれば
「線分ＰＯ、ＯＰが直交するならば」
#2,#4さんの回答の定点(4p,0)を弦ＰＱが通るようになります。

多分、質問者さんの問題の写し間違いでしょう。

回答No.4

Quattro99

> （ａ＋ｂ）ｙ＝４ｐｘ－１６ｐ＾２
それでほとんど終わっていますよ。
y=0、4px-16p^2=0のとき、その式はa+bの値にかかわらず成立しますから、それを解いた(x,y)=(4p,0)は必ず通る点ということになります。

お礼

なるほど。
式をどう見るかが大切だったんですね。
ありがとうございました！

回答No.3

mister_moonlight

書き込みミスの訂正。

(誤)　直線ＰＱは　(α＋β)y＝2(x-pα＾2)＋2pα

(正)　直線ＰＱは　(α＋β)y＝2(x-pα＾2)＋2pα(α＋β)

ついでに、
放物線上の点を　Ｐ(pα＾2、2pα)、Ｑ(pβ＾2、2pβ)　と置くのは既に常識の部類に入るだろう。

覚えておくと便利。

回答No.1

Quattro99

> Ｐ、Ｑのｙ座標をそれぞれａ、bとおきPQやPO、QOの方程式をもとめて
直行するので、POの傾きとQOの傾きを掛け合わせると-1というのを利用して解けないでしょうか。

補足

回答ありがとうございます。
わたしもそこまではやってみたのです。そうすると（ａ＋ｂ）ｙ＝４ｐｘ－１６ｐ＾２というところまではでます。でもそこからどうしていいかわかりません。