正規直交系と証明

質問

{e1,e2,…,ep}をVの正規直交系とする。任意のベクトルx∈Vについて、Σ[i=1,p]<x,ei>^2=||x||^2が成り立つのはxがe1,e2,…epの１次結合であるときに限ることを示せ。
この問題がどうしても解けず、困っています。
どなたか分かる方、教えてください！お願いします。

回答No.1

connykelly · ベストアンサー

以下、アドバイスです。
{e1,e2,…,ep}をVの正規直交系とするとei・ej=δijとなります。ここでδij=1(i=j),δij=0(i≠j)で、異なる成分の内積は0、つまり互いに直交しているということですね。任意のベクトルx∈VはVの正規直交系ベクトルのx=x1e1+x2e2+・・・xpep=Σ[i=1,p]xieiと書くことが出来ますから、x・e1=x1e1・e1+x2e2・e1＋・・・xpep・e1=x1となりますね。同様にしてx・e2=x2、・・・、x・ep=xpとなり、これらの演算は結局ベクトルxのei成分を取り出している（ei方向へのxの正射影とも言われます）ということになります。以上のことからΣ[i=1,p]<x,ei>^2=x1^2+x2^2+・・・xp^2=||x||^2が得られます。x=x1e1+x2e2+・・・xpep=Σ[i=1,p]xiei
とｘがeiの1次結合でない場合はこうは行きませんね。この辺りはご自分でフォローしてみてください。参考URLも参照ください。
http://www.snap-tck.com/room04/c01/matrix/matrix06.html

参考URL：

http://www.snap-tck.com/room04/c01/matrix/matrix06.html

お礼

とても詳しく説明してくださってありがとうございます！
はじめシュワルツを使って解こうとして行き詰っていたので、URLの方もかなり参考にさせていただきました！

回答No.2

koko_u_

V の正規直交基底で {e1, e2, ... ep} を含むものを考えて、x をその基底で表現するのがもっとも手っ取り早いか。