直交補空間などについて

質問

どうしても分からない問題がありますのでよろしくお願いします。
もちろんどちらか片方でも構いませんので、よろしくお願いします。

行列Aがあって、Aの成分は第一行が[3/4,√6/4,1/4]第二行が[-√6/4,1/2,√6/4]第三行が[1/4,-√6/4,3/4]である。

１、Aの固有値1に対する固有空間Wの大きさ1のベクトルからなる基底を求めよ。

２、三次元ベクトル空間におけるWの直交補空間Vの正規直交基底{v1,v2}を求めよ。

回答No.1

nanjamonja

１.
固有値１に属する固有ベクトルをｔ（ｘ,ｙ,ｚ）とすると
（ｔは転置を表す）
　Ａｔ（ｘ,ｙ,ｚ）＝ｔ（ｘ,ｙ,ｚ）
両辺の成分を比較して
　3/4ｘ＋√6/4ｙ＋1/4ｚ＝ｘ
　-√6/4ｘ＋1/2ｙ＋√6/4ｚ＝ｙ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1/4ｘ-√6/4ｙ＋3/4ｚ＝ｚ
これを解いて（最後の式は余分）
ｙ＝０,ｚ＝ｘより
ｔ（ｘ,ｙ,ｚ）＝ｔ（ｘ,０,ｘ）
大きさ１より
ｔ（√2/2,０,√2/2）
２.
Wの直交補空間Vに属するベクトルをｔ（u,ｖ,ｗ）とすると
ｔ（√2/2,０,√2/2）と直交するから,内積＝０より
　ｗ＝-u
よってｔ（u,ｖ,ｗ）＝ｔ（u,ｖ,-u）
　　　　　　　　　＝uｔ（1,０,-1）+ｖｔ（０,1,０）
基底はｔ（1,０,-1）とｔ（０,1,０）　大きさを１にして
v1＝ｔ（√2/2,０,-√2/2）
v2＝ｔ（０,1,０）
v1,v2は直交するので答えです