関数に行う最小二乗法

質問

ベクトルではなく任意の関数g(x)を
p個の正規直交関数g1(x),g2(x),・・・, gp(x)
で最適近似したときの近似誤差をEp(x)としたき
∫Ep(x)＾2
はどのように表せるのですか？

回答No.2

arrysthmia

そこは、自明でしょう。
p が大きくなって、増えた分の k について、
c_k = 0 とすることもできるのだから、
p が増えて最小誤差が増えることは、ありえない。
狭義に減少であることを示すには、
有限個の g_k では基底にならないことを使うかな？

お礼

そうですね！c_k = 0 とすることもできるのだから、
p が増えて最小誤差が増えることは、ありえない。
確かにそれだけでも言えますね！
アドバイスありがとうございます！

回答No.1

arrysthmia

係数 c_k を置いて、
Ep(x) = g(x) - Σ[k=1…p] c_k g_k(x) としたのでしょう？

Ep(x)^2 の括弧を展開して、誤差二乗和 ∫ Ep(x)^2 dx を c_k の多項式で表す
ことは、できなくはありませんが、あまり計算の役には立ちません。

∫{ g(x) - Σ[k=1…p] c_k g_k(x) }^2 dx という式形のまま
各 c_k で偏微分して、最小二乗法の作業を進めるほうが、得策です。

計算を進める前に、積分が収束する状況設定ができているかどうか確認
しましょう。 積分区間が有界だとか、g(x) や 各 g_k(x) が二乗可積分だとか…

お礼

ご回答ありがとうございます。すいません。
p個の正規直交関数g1(x),g2(x),・・・, gp(x)
は有限個でした。
ちなみに、pが大きくなると誤差二乗和 ∫ Ep(x)^2 dx
は小さくなることを証明するのは簡単ですか？