にゃんこ先生の自作問題、3次方程式を作る関数

質問

はじめてにゃ。にゃんこ先生といいます。自作問題です。

にゃにかある方程式があり、解を2つ持つとします。さらに、
x=αが解のときx=-b/(α+a)も解だったとします。

このとき、
x=-b/(α+a)が解にゃので、
x=-b/{-b/(α+a)+a)
=-b(α+a)/{-b+a(α+a)}
={-bα-ab}/{aα+a^2-b)}
も解です。解は２つにゃので、x=αは２つ目の解か３つ目の解に一致します。

α=-b/(α+a)のとき、
α^2+aα+b=0

α={-bα-ab}/{aα+a^2-b)}のとき、
{-bα-ab}/{aα+a^2-b)}=α
-bα-ab=aα^2+(a^2-b)α
aα^2+a^2α+ab=0
α^2+aα+b=0

これらのことは、おおまかには、
x=αが解のときx=-b/(α+a)も解となる解２つの方程式は、２次方程式x^2+ax+b=0に限られることを意味します。

では、x=αが解のときx=f(α)も解となる解３つの方程式が、３次方程式x^3+ax^2+bx+c=に限られるようにゃf(α)を教えてください。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

２次方程式と仮定して
＞　x=αが解のときx=-b/(α+a)も解だったとします
で、それが異なる２つの解を意味するなら、その方程式は
c≠0, c(x - α)(x + b/(α+a)) = 0
でしょう。

>　このとき、
＞　x=-b/(α+a)が解にゃので、
＞　x=-b/{-b/(α+a)+a)　・・・（１）
＞　・・・（略）
＞　も解です。
意味不明です。（１）は α = -b/(α+a) でなければ成立しません。
x = α と x = -b/(α+a)の両方が解であることと、 α = -b/(α+a) であることは別のはずでは？
よって、
＞　α=-b/(α+a)のとき、　　・・・（２）
＞　α^2+aα+b=0
＞
＞　α={-bα-ab}/{aα+a^2-b)}のとき、　・・・（３）
＞　・・・（略）・・・
＞　α^2+aα+b=0
は意味がありません。α = -b/(α+a) を単に式変形しているだけの話で、もとの方程式とは何ら関係がありません。

３次方程式の件は、３つめの解が何でもありなんだから、３次方程式が一つに定まるはずもないでしょうに。どんなf(α)をもってきても、c(x - α)(x - f(α))(x - β)=0 という方程式を任意のcとβで作れる。

お礼

ありがとうございます。

根拠とにゃった問題を、改めて投稿しました。

そこで、にゃんこ先生が感じている疑問を理解いただけると思います。

回答No.4

tecchan22

少なくとも f(α)=-c/(α^2+aα+b) ではうまく行かないことはにゃんこ先生も確認済みでしょうが、
ということは、難しいでしょうね。

不可能なことの証明は・・どうかな・・？

お礼

ありがとうございます。

根拠とにゃった問題を、改めて投稿する予定です。

回答No.2

tarame

＞x=αが解のとき、x=-b/(α+a)も解となる解２つの方程式は、２次方程式x^2+ax+b=0に限られることを意味します。
α＝1，a＝2，b＝6 とすると -b/(α＋a)＝-6/(1+2)＝-2 だから
x＝1 と x＝-2 を解にもつ２次方程式は、x^2＋2x＋6＝0 になるってことですか？

お礼

ありがとうございます。

>α＝1，a＝2，b＝6 とすると

a＝2，b＝6 とするのはいいとしても、α＝1とするのはよくにゃいです。

根拠とにゃった問題を、改めて投稿する予定です。

回答No.1

DSPlabo001

すみません。二行目の
＞にゃにかある方程式があり、解を2つ持つとします。
というのは、「複素数解が２つだけ存在する」ということでしょうか？
それとも、「実数解が２つだけ存在する」という意味でしょうか。
また、二次方程式の解が重解である場合は、解が一つとして数えるのでしょうか。

＞解は２つにゃので、x=αは２つ目の解か３つ目の解に一致します。
「３つ目の解」とはどういう意味でしょうか？察するに「解が３つ存在する」ということになり、前提である「にゃにかある方程式があり、解を2つ持つとします。」に反しているように思えるのですが・・・。
そもそも１つ目の解とは何を指すのでしょうか？

私は読解能力が乏しいのでそのあたりの解説をお願いします(^_^;

お礼

ありがとうございます。
とりあえず複素数解を考えていました。
とりあえず、ややこしいので、異なる解と想定していました。

根拠となった問題を、改めて投稿する予定です。