三角形の外心と垂心

質問

(1)△ABCの外心をOとする。

三角形ABCがあって、∠ABC=20°、∠ACB=30°あって
外心Oが△ABCの下のほうにあります。
△OBCとあって、∠OBC=α°、∠BOC=β°あります。
角αとβを求めよ。
できれば詳しい解説つきでおねがいします。
ほんとにわかんないんです。

(2)△ABCの外心をOとする。∠BAOの二等分線が外接円と再び交わる点をDとするとき
AB//ODであることを証明せよ。

図が思い浮かばず、こういう証明問題は本当に苦手です。；；

(3)△ABCの辺BC,CA,ABの中点をそれぞれ、L,M,Nとする。
△ABCの外心Oは△LMNの垂心であることを証明せよ。

どうやって証明していくんでしょうか？
外心であるところを利用するようなんですが、証明問題は苦手でうまくいきません。
どうか易しく教えてください。
おねがいします。

回答No.1

htms42

図を書くことができるようにならなければいつまでたっても証明が出来るようにはなりません。問題文の通り書けばいいのですからやってみることです。外心とか垂心がどういうものかは教科書に載っているはずです。
外心：外接円の中心
ＡＯ＝ＢＯ＝ＣＯ（＝半径）となるので各辺の垂直二等分線の交点になります。
垂心：各頂点から対辺に下ろした垂線の交点

（１）、∠Ａ＝１８０－（２０＋３０）＝１３０°、２α＋β＝１８０°
ＢＣの下側（Ａと反対側）の円周上に点Ｄを取ります。
∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°、∠Ｄ＝β／２
これでβが分かります。

（２）、∠ＯＤＡ＝∠ＯＡＤ＝∠ＤＡＢです。これでＡＢとＯＤが平行であることが出てきます。

（３）垂心と外心の定義の通りです。図を描けば分かります。

∠ABC=20°、∠ACB=30°
　　　　ABC=20°、∠ACB=30°