ベクトルの垂心の証明

質問

三角形ＡＢＣの外心をＯ，ＯＨベクトル＝ＯＡベクトル＋ＯＢベクトル＋ＯＣベクトルとするとき、点Ｈは三角形ＡＢＣの垂心であることを示せ。

解答ではＡＨベクトル・ＢＣベクトル＝０
　　　　ＢＨベクトル・ＣＡベクトル＝０
　　　　ＣＨベクトル・ＡＢベクトル＝０の３つを言うことで証明していますが、このうちの２つだけを示す事でも垂心があることが言えると思うのですが３つとも言わないといけないのですか？教えてください。

回答No.3

adinat · ベストアンサー

>>An.２様：有名な事実です。
ＯＨ＝ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ
より、
ＡＨ＝ＯＢ＋ＯＣ
だから、
ＡＨ・ＢＣ＝（ＯＢ＋ＯＣ）・（ＯＣ－ＯＢ）＝｜ＯＣ｜＾２－｜ＯＢ｜＾２＝０
です。なぜならＯは外接円の中心だから。

さて質問者様、この回答をよく読むと、ＡをＢに、ＢをＣに、ＣをＡに変えることによってまったく同じ計算をして
ＢＨ・ＣＡ＝０
を証明できます。さらにＡをＢに、ＢをＣに、ＣをＡに変えて
ＣＨ・ＡＢ＝０
です。したがって実質ひとつさえ証明できれば、あとは“同様に”と書いて論証を省略することが可能です。

ではやや略証で済ましてよいとしても、それでも３つ示さないといけないかというと、これはAn.１様もご指摘されているとおり、垂心の定義の問題なのです。垂心が三角形の各頂点から下ろした３垂線の交点である、ということならば、やはり３つとも示さないと垂心であることにはなりません。

ところが、実は垂心というのは、適当にとった２垂線の交点でもあるので、こちらが定義だとすると、２つの証明で十分なんです。というわけで結論ですが、２つの証明で実は足りているのだけれど、３つ書いておく方が無難だ、ということです。３つ書いて×になることはないが、２つだと意地の悪い先生なら、やや証明不十分といって減点する可能性があります。

お礼

３つとも証明すればいいのですね。詳しく説明頂きありがとうございました。

回答No.2

postro

その前に
＞三角形ＡＢＣの外心をＯ，ＯＨベクトル＝ＯＡベクトル＋ＯＢベクトル＋ＯＣベクトルとするとき、点Ｈは三角形ＡＢＣの垂心である
↑これ本当ですか？

回答No.1

Mr_Holland

「３つの垂線が１点で交わる」ことが与えられていれば、質問者さんが言われるように2つだけを示せば良いと思います。
　ただ、与えられていなければ、証明の深さにもよりますが、問題によっては「３つの垂線が１点で交わる」ことの証明も含まれているような場合もありますので、その場合には３つとも直交することを示すのが妥当だと思われます。

お礼

解答ありがとうございました。とっても助かりました。