△ＡＢＣの外心をＯ、内心をＩとする。

質問

△ＡＢＣの外心をＯ、内心をＩとする。

(2)ＯとＩが一致しないとき、ＡＩの延長と△ＡＢＣの外接円の交点をＤとする。このとき、ＯＤ⊥ＢＣであることを証明せよ。

解けません。
お力を貸していただけませんか？

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

少し「言い換え」ができれば、できる問題ですね。

その言い換えとは、次のとおりです。
「点 Iは内心」＝「直線AIは、角Aの二等分線」

図を描いてみると気づくと思いますが、
直線ODは単に辺BCに垂直なだけでなく、垂直二等分線となります。
直線ODと辺BCの交点を Mとして、三角形OBMと三角形OCMが合同であることを示します。

・三角形OBCは二等辺三角形であること。
・角BOM＝角COM（ここに「言い換え」が効いてきます。）
これら 2つを利用すると、合同であることを示すことができます。

回答No.1

debut

ＡＤは∠ＢＡＣ の二等分線なので、∠ＢＡＤ＝∠Ｃ ＡＤ。
そのことから、弧ＢＤに対する中心角∠ＢＯ Ｄと
弧Ｃ Ｄに対する中心角∠Ｃ ＯＤは等しい、と導けて、
ＢＣ とＯ Ｄの交点をＰとすれば、
△ＢＯ Ｐ≡△Ｃ Ｏ Ｐが証明できます。
（∠ＢＯ Ｐ＝∠Ｃ ＯＰ、半径でＢ Ｏ＝Ｃ Ｏ、Ｏ Ｐは共通）

すると、∠ＢＰＯ＝∠Ｃ ＰＯと、∠ＢＰＯ＋∠Ｃ ＰＯ＝180°
から、証明が完成します。