• 締切済み

垂心を用いた問題についてアドバイスお願いします。

垂心を用いた問題についてアドバイスお願いします。 証明自体は長くないのですが、等式がなぜ成り立つのかがわかりません。 【問題】 △ABCの垂心をHとすると、AH^2+BC^2=BH^2+CA^2=CH^2+AB^2であることを証明せよ。 一通り考え、解答を見ました。 AH,BCの交点をDとすると、 AB^2-AC^2=BD^2-CD^2=BH^2-AB^2…(1) ∴BH^2+CA^2=AB^2 他も同様に証明できる。 (1)の等式は何を表しているんでしょうか? AB^2-AC^2は△ABCの隣り合う二つの辺の差の二乗だと推測しましたが、それ以上進展せず袋小路に陥ってしまいました。 もしお時間がいただけましたらご教示下さい。 よろしくお願いします:) 補足)一応写真も撮りましたが、見辛いと思います。

みんなの回答

  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1707)
回答No.3

>AB^2-AC^2=BD^2-CD^2=BH^2-AB^2…(1) 間違い。写真の式(正しい)と異なる。 >∴BH^2+CA^2=AB^2 この式も間違い。写真の式(正しい)と異なる。 >(1)の等式は何を表しているんでしょうか? 写真の式と異なり間違った式です。 間違った等式について考えても何も出てきません。 写真の式の流れを追った方が良いでしょう。 >AB^2-AC^2は△ABCの隣り合う二つの辺の差の二乗だと推測しましたが、それ以上進展せず袋小路に陥ってしまいました。 直角三角形△ABDと△ACDについて、3平方の定理(ピタゴラスの定理)を適用して考えてください。 3平方の定理より AB^2=AD^2+BD^2, CA^2=AD^2+CD^2 これから AB^2-CA^2=BD^2-CD^2 ...(※1) が出てきます。 同様に 直角三角形△HBD、△HCDに3平方の定理を適用すると BH^2=DH^2+BD^2, CH^2=DH^2+CD^2 この2式から BH^2-CH^2=BD^2-CD^2 ...(※2) (※1)と (※2)から AB^2-CA^2=BH^2-CH^2 移項して BH^2+CA^2=CH^2+AB^2 この式は写真の証明すべき等式の後半になっています。 同様にして、前半の等式 AH^2+BC^2=BH^2+CA^2 も導けます。 やってみてください。

Acknowledge010
質問者

お礼

お返事遅れて申し訳ないです。 丁寧な回答ありがとうございました。 式と図形と照合しながら丁寧に読んでいったところ、式の複雑さにとらわれないで図形をイメージすることができました! また何かありましたらよろしくお願いします:)

すると、全ての回答が全文表示されます。
  • bran111
  • ベストアンサー率49% (512/1037)
回答No.2

(1)が間違いです。 AB^2-AC^2=(AD^2+BD^2)-(AD^2+CD^2)=BD^2-CD^2 =(BH^2-HD^2)-(CH^2-HD^2)=BH^2-CH^2 つまり AB^2-AC^2=BD^2-CD^2=BH^2-CH^2 これより AB^2+CH^2=CA^2+BH^2 これで後半の=が証明できました。 同じことをAC,BCについて計算すれば AC^2-BC^2=AF^2-BF^2=AH^2-BH^2 これより AC^2+BH^2=BC^2+AH^2 これで前半の=が証明できました。

Acknowledge010
質問者

お礼

お返事遅れて申し訳ないです。 丁寧な回答ありがとうございました。 式と図形と照合しながら丁寧に読んでいったところ、式の複雑さにとらわれないで図形をイメージすることができました! また何かありましたらよろしくお願いします:)

すると、全ての回答が全文表示されます。
回答No.1

AB^2-AC^2=BD^2-CD^2=BH^2-AB^2…(1)  (⇦ =BH^2-CH^2 では?) ∴BH^2+CA^2=AB^2 AB^2 は△ABD で三平方の定理を、 AC^2 は△ACD で三平方の定理を それぞれ用いています。 だから、 AB^2-AC^2 =(BD^2+AD^2)-(CD^2+AD^2) =BD^2-CD^2 ここで、△HBD で三平方の定理より BD^2=BH-2-DH^2 また、△HCD で三平方の定理より CD^2=CH^2-DH^2 だから、 AB^2-AC^2 =BD^2-CD^2 =(BH^2-DH^2)-(CH^2-DH^2) =BH^2-CH^2 つまり、 AB^2-AC^2=BH^2-CH^2 となり、これより BH^2+AC^2=CH^2+AB^2 BH^2+CA^2=CH^2+AB^2 となると思います。(このようになりましたが・・・。)

Acknowledge010
質問者

お礼

お返事遅れて申し訳ありません。 回答ありがとうございました! 分かりやすい説明でとても参考になりました:)

すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A