★方程式・不等式の証明です。 ： ４

質問

Ｑ：次の式を証明せよ。

｜ｘ｜＜１，｜ｙ｜＜１のとき
｜ｘ＋ｙ｜＋｜ｘ－ｙ｜＜２

考え方が分からないので、歯が立ちません。

回答No.3

Mell-Lily · ベストアンサー

【Qestion】
Prove the following proposition:
　|x|∧|y|<1 ⇒ |x+y|+|x-y|<2. … (*)

【Answer】
命題(*)の対偶
　|x+y|+|x-y|≧2 ⇒ |x|∨|y|≧1 … (**)
を証明する。ところで、
x+y≧0、すなわち、y≧-xのとき、
　|x+y|=x+y.
x+y<0、すなわち、y<-xのとき、
　|x+y|=-x-y.
x-y≧0、すなわち、y≦xのとき、
　|x-y|=x-y.
x-y<0、すなわち、y>xのとき、
　|x-y|=-x+y.
である。よって、
(1)y≧-x,y≦xのとき、
　|x+y|+|x-y|=x+y+x-y=2x≧2　∴ x≧1　∴ |x|≧1.
(2)y≧-x,y>xのとき、
　|x+y|+|x-y|=x+y-x+y=2y≧2　∴ y≧1　∴ |y|≧1.
(3)y<-x,y≦xのとき、
　|x+y|+|x-y|=-x-y+x-y=-2y≧2　∴ y≦-1　∴ |y|≧1.
(4)y<-x,y>xのとき、
　|x+y|+|x-y|=-x-y-x+y=-2x≧2　∴ x≦-1　∴ |x|≧1.
(1),(2),(3),(4)から、(**)が証明された。q.e.d.

回答No.4

good777

A(-1,1),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,1)としましょう。
■仮定について■■■
ここで、｜ｘ｜＜1
というのは　-1＜ｘ＜1のことで、
グラフでは直線ABと直線DCの間の区間です。

同様に｜ｙ｜＜1
とういうのは　-1＜ｙ＜1のことで、
グラフでは直線ADと直線BCの間の区間です。

従い、｜ｘ｜＜1、｜ｙ｜＜1
というのは　-1＜ｘ＜1、-1＜ｙ＜1のことで、
グラフでは正方形ABCDの内部の区間です。

■結論について■■■
｜ｘ＋ｙ｜＋｜ｘ－ｙ｜＜２

座標平面を直線ACと直線BCで4つに分けて考えます。
(1)　ｘ＋ｙ＞0、ｘ－ｙ＞0の部分。（右の部分）
　｜ｘ＋ｙ｜＋｜ｘ－ｙ｜＜２
　　　　ｘ＋ｙ＋ｘ－ｙ＜２
　　　　　　　　　　ｘ＜1
よって、直角2等辺三角形OCDの内部

(2)　ｘ＋ｙ＞0、ｘ－ｙ＜0の部分。（上の部分）
　｜ｘ＋ｙ｜＋｜ｘ－ｙ｜＜２
　　　　ｘ＋ｙ-ｘ+ｙ＜２
　　　　　　　　　　ｙ＜1　
よって、直角2等辺三角形ODAの内部

(3)　ｘ＋ｙ＜0、ｘ－ｙ＞0の部分。（下の部分）
　｜ｘ＋ｙ｜＋｜ｘ－ｙ｜＜２
　　　　-ｘ-ｙ+ｘ-ｙ＜２
　　　　　　　　　　ｙ＞-1　
よって、直角2等辺三角形OBCの内部

(4)　ｘ＋ｙ＜0、ｘ－ｙ＜0の部分。（左の部分）
　｜ｘ＋ｙ｜＋｜ｘ－ｙ｜＜２
　　　　-ｘ-ｙ-ｘ+ｙ＜２
　　　　　　　　　　ｘ＞-1　
よって、直角2等辺三角形OABの内部

以上、（1）（2）（3）（4）によって
正方形ABCDの内部の点になる。

■仮定と結論の両方とも正方形ABCDの内部の点になるので
証明された。■

回答No.2

oshiete_goo

対称性を議論してxy平面で範囲を絞って(例えば x≧0, y≧0, y≧x に限定して示せれば十分)絶対値を外すのが一番良さそうですが...(あとは考えて下さい.)

平凡なところでは
x+y=u, x-y=v
とおいて, 与式を書き換えて整理すると
|u+v|＜2 かつ |u-v|＜2
ならば |u|+|v|＜2
が示せればよいハズ. (uv平面で考えては?)

回答No.1

hinebot

ヒントです。

まず、｜ｘ｜＜１　ということは、－１＜ｘ＜１　です。

次に
｜ｘ＋ｙ｜と｜ｘ－ｙ｜の範囲をそれぞれ考えて見ましょう。