高校数学の問題です。
問 x,y,zは実数であるとする。
(1)不等式 3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2
が成り立つことを示せ。等号が成り立つ場合も調べよ。
(2)x,y,zがx^2+y^2+z^2=x+y+zを満たすとき、
不等式 -1/8≦xy+yz+zx≦3
が成り立つことを示せ。
(1)は証明できました。
(2)の解説は以下のように参考書に載っていました。
(解説)x+y+z=tとおくと、x^2+y^2+z^2=x+y+zから、
xy+yz+zx=(t^2-t)/2 となるので、
まずtがとりうる値の範囲を調べる。
x^2+y^2+z^2=x+y+z=tを3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2
に代入して、3t≧t^2
よって、0≦t≦3
この範囲におけるxy+yz+zx=(t^2-t)/2の増減を調べて(省略)
-1/8≦xy+yz+zx≦3を示すことができる。(終)
実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=x+y+zを満たしているとき、
x+y+z=tは0以上3以下のある値をとる、
ということはこの解答で証明できていると思うんですが、
実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=x+y+zを満たしながら
動くとき、x+y+z=tは0≦t≦3の範囲の『すべての』値をとりうることは
証明できていないような気がします。
どうして0≦t≦3の範囲の『すべての』値をとりうるといえるんでしょうか。
ぜひ教えてください。
お礼
下記のように証明することができました。 ありがとうございました。 証明）仮定から，(x-1)<0, (y-1)<0, (z-1)<0 xyz+x+y+z-xy-yz-zx-1 =(xy-x-y+1)z-(xy-x-y+1) =(z-1)(xy-x-y+1) =(z-1)(x(y-1)-(y-1)) =(x-1)(y-1)(z-1)<0 よってｘｙｚ＋ｘ＋ｙ＋ｚ＜ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＋１が成り立つ