不等式の証明

質問

2(x^2+3y^2)≧5xyの証明をせよという問題なんですが回答を見ても理解できません。

以下その回答なんですが、
左辺ー右辺
＝2(x^2+3y^2)－5xy
＝2x^2－5xy＋6y^2
ここまではいいとして、この次
2{x^2－2・4分の5xy＋(4分の5y)^2}－2・(4分の5y)^2＋6y^2
となるのがわかりません。
式が見難いかもしれませんが教えて下さい。

回答No.5

take_5

変数は少ないほうが良い、とは言え大して代わり映えしないが。。。笑

2(x^2+3y^2)-5xy≧0を証明すると良い。
y＝0のとき、2x^2≧0から成立。等号成立はx＝y＝0の時。
y≠0のとき、両辺をy＾2で割って、（y/x）＾2＝tとすると、2t＾-5t＋6＝2（t-5/4）＾2＋23/8＞0。但し、等号成立はx＝y＝0の時。
以上より、証明された。

回答No.4

774danger

最後の部分計算間違ってますね.......(恥ずかしい)
-2(5/4)y)^2 + 6y^2 = (23/8)yなので、No.2のかたの書かれているとおり

2(x -(5/4)y)^2 + (23/8)y^2 ≧ 0

ですね

回答No.3

tatumi100

これは簡単な話であって、不等式の証明で

左辺ー右辺≧０　ならば　左辺≧右辺

ですよね。では、左辺ー右辺をどうやって≧０と証明するか、というと
変数Ａ、Ｂを用いると

Ａ^2+Ｂ^2

の形にしてしまえばいいのです。こうするとＡやＢが負の値であっても、二乗しているから全体では正の値になるでしょ。
ちなみにここでＡとかＢは（ｘ－5/4y）だったり（19/4)yだったりしま
す。

で、質問の話ですが、今

2x^2－5xy＋6y^2

をＡ^2+Ｂ^2、具体的には（x-α）^2+(y-β)^2の形にしたいのですね。
で、yについては6ｙ＾2とすでに正の係数がついているのでこれ以上手
を加える必要はないのですが

2x^2－5xy

の部分については、なんとかして(x-α)^2にしなくてはならないので
す。そこで、二次関数を作ったときみたいに「加えて減らして」を使いって

2x^2－5xy
=2(x^2-5/2xy)
=2{x^2-2*5/4xy+((5/4)y)^2} - 2{(5/4y)^2}

としているだけです。こうすると-2{(5/4y)^2}よりも前の部分で(x-5/4y)^2が作れて、（）の中身がどんな値をとっても全体では正の値であると保証してくれるのです。

回答No.2

debut

平方完成です。
因数分解公式のx^2+2ax+a^2＝(x+a)^2の利用です。
例えば、ｘ^2＋５ｘなら、５の1/2を２乗したものを足して、引くと
ｘ^2＋５ｘ＋(5/2)^2-(5/2)^2＝(ｘ＋5/2)^2-(5/2)^2　と一部を
(・・・)^2の形にできるというものです。
２次関数の頂点を求めるときにやってないですか？

2x^2-5xy+6y^2
=2{x^2-(5y/2)x}+6y^2
ここで、xの係数(5y/2)の1/2をしたものの２乗、つまり
(5y/4)^2を足して引くと
=2{x^2-(5y/2)x+(5y/4)^2-(5y/4)^2}+6y^2
=2{x^2-(5y/2)x+(5y/4)^2}-2*(5y/4)^2+6y^2
=2{x-(5y/4)}^2+23y^2/8

回答No.1

774danger

最終的には、A,Bが実数であれば、A^2 ≧ 0, B^2 ≧ 0なので、
A^2 + B^2 ≧ 0 が成り立ちます
単純にこの式に当てはまるように式を変形しているだけです

この場合、2(x -(5/4)y)^2 + (7/2)y^2 と変形でき、
(x -(5/4)y)^2 ≧ 0, y^2 ≧ 0なので、
2(x -(5/4)y)^2 + (7/2)y^2 ≧ 0 が成り立ちます