・方程式・不等式の証明です。 ： ３

質問

Ｑ：次の式を証明せよ。

(a^2＋b^2＋c^2)(x^2＋y^2＋z^2)≧(ax＋by＋cz)^2

考え方が分からないので、歯が立ちません。

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

いわゆるコーシー・シュワルツの不等式ですね．

＞あと、ベクトルの内積を用いる証明方法もあります。
この方針の解を示します．

[証明]
→a=(a,b,c), →x=(x,y,z) とする．
内積の定義
→a・→x＝|→a||→x|cosθ　・・・（１）
（ただしθは２つのベクトルのなす角）
と，一般に
－１≦cosθ≦１・・・（２）
より，（１）の両辺の２乗を考えると
(→a・→x)^2＝|→a|^2|→x|^2(cosθ)^2≦|→a|^2|→x|^2　・・・（３）
これを，成分で表示すると
→a・→x＝ax+by+cz
|→a|^2=a^2+b^2+c^2
|→x|^2=x^2+y^2+z^2
より，
（３）⇔　(ax+by+cz)^2≦(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)　・・・（４）
すなわち与式が示された．
ただし，等号成立は（３）の不等式の等号が成立するときなので，
|→a|＝０ または |→x|＝０ または cosθ＝±１
⇔|→a|＝０ または |→x|＝０ または →a//→ｘ　のとき・・・（５）
⇔a^2＋b^2＋c^2＝０ または x^2＋y^2＋z^2＝０ または (a,b,c)//(x,y,z) のとき．

[補足]
一般のｎ次元ユークリッド空間でいえますが，高校の範囲では２次元，３次元までしか教科書で扱わないので，４次元以上のときは＃２の解法を使えるようにしておくと良いでしょう．
でも結果を幾何学的に理解し，記憶するのには，この解法は有用です．
（(1),(2)から(4)と(5)は明白．）

回答No.5

good777

(a^2＋b^2＋c^2)(x^2＋y^2＋z^2)≧(ax＋by＋cz)^2
両辺を展開したときの両辺の共通項
（ax）^2 ＋（by）^2＋（cz)^2
を引くと
左辺＝a^2ｙ^2＋a^2z^2＋ｂ^2ｘ^2＋ｂ^2ｚ^2＋ｃ^ｘ2^＋ｃ2^ｙ
右辺＝2abxy＋2bcyz＋2cazx
となる。
左辺－右辺＝(ay－bx)^2＋(bz－cy)^2＋(cx－az)^2≧0

回答No.3

Mell-Lily

【Qestion】
次の式を証明せよ。
　(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2

【Answer】
　(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2+a^2(y^2+z^2)+b^2(z^2+x^2)+c^2(x^2+y^2)-2(abxy+bcyz+cazx)=(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2≧0 (∵ (ax+by+cz)^2,(ay-bx)^2,(bz-cy)^2,(cx-az)^2≧0)
　∴ (a^2+b^2＋c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2
q.e.d

回答No.2

i536

a,b,c,x,y,z を定数とみなし、さらに任意の実数tとで次式(1)(2)(3)が成立します。

(at-x)^2≧0 ---(1)
(bt-y)^2≧0 ---(2)
(ct-z)^2≧0 ---(3).

(1)、(2)、(3)の左辺側と、右辺側をそれぞれ加えて式(4)、
さらに展開すると下式(5)を得ます。

(at-x)^2 + (bt-y)^2 + (ct-z)^2≧0 ---(4)
(a^2 +b^2 +c^2)t^2 -2(ax+by+cz)t +(x^2 + y^2 +z^2)≧0---(5)

式(5)を＝０と置いた、tの２次方程式とみると、判別式≦０　が成立します。

したがって、
(ax+by+cz)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)≦0
(ax+by+cz)^2 ≦ (a^2 +b^2 +c^2)(x^2 + y^2 +z^2).

---
あと、ベクトルの内積を用いる証明方法もあります。

回答No.1

noname#8570

考え方が分からないということなので，方針だけ．

両辺とも展開し，左辺から右辺を引きます．
それを
(○○)^2
という形の組み合わせ(和)になるように
因数分解します．
そうすれば２乗の和で表せるので，正になり，
左辺>=右辺
が証明できます．
この問題に限らず，不等式の証明は
同じような手順でほとんどできると思います．
(このレベルの問題なら)