方程式・不等式の証明です。 ： ２

質問

Ｑ：次の式を証明せよ。

a,b,cが正の数のとき、　a^3＋b^3＋c^3≧3abc

考え方が分からないので、歯が立ちません。

回答No.3

Mell-Lily · ベストアンサー

【問題】
次の命題を証明せよ。
　a,b,c>0 ⇒ a^3+b^3+c^3≧3abc

【解答】
　a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=1/2(a+b+c){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}≧0 (∵ a+b+c>0, (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧0)
　∴ a^3+b^3+c^3≧3abc
q.e.d.

回答No.4

hinebot

#2です。
既に答えが出ていますが、一転だけ注意を。

#3の方の回答のように
>∴ a^3+b^3+c^3≧3abc
で終わってはいけません。この問題のように等号つきの不等式の証明では、
必ず、等号成立条件を示さなければいけません。

この問題の場合、#3の回答に
「等号は、a=b=c のとき成り立つ」（この理由はＯＫですね。）
を追記して初めて、正解となります。
「方程式・不等式の証明です。　：　３」も同じです。

回答No.2

hinebot

ヒントです。

3abcを左辺へ移項して因数分解してみましょう。

回答No.1

Brown2002

答えを教えてしまうと勉強になりませんので、参考になるページを紹介します。
上から下まで一通り見ていけば、必ず解けます。

がんばって下さい。

参考URL：

http://www.gin.or.jp/users/hash/color/math/insu.htm