頂点の軌跡

質問

放物線y=x^2を平行移動した放物線をCとする。Cと放物線y=-x^2によって囲まれた部分の面積が1/3となるようにCを動かすとき、Cの頂点の軌跡を求めよ。　と言う問題です。
放物線と面積の問題だったので、
α
∫(x-α)(x-β)dx=-1/6(β-α)^3
β
この公式を使って解いてみたのですが、途中で行き詰ってしまい先に進めません。軌跡は特に苦手なのでよろしくお願いします。

回答No.2

yhposolihp · ベストアンサー

f(x)={(x-p)^2}+q　と置く。頂点(p,q)
　　　　　=(x^2)-2px+{(p^2)+q}

　　g(x)=-(x^2)

　　　　　　　　　　　　　f(x)=g(x)
　　　(x^2)-2px+{(p^2)+q}=-(x^2)
　　2(x^2)-2px+{(p^2)+q}=0
　(x^2)-px+[{(p^2)+q}/2]=0
　　　　　　２解をa,bと置く。（a<b)
　　　Ａ　(a+b)=p
　　　　　　　ab={(p^2)+q}/2
　　　Ｂ　　4ab={2(p^2)+2q}　と変形しておく。

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面積S=(1/3)
　　　S=∫[a,b]【g(x)-f(x)】dx
　　　　=-∫[a,b]【2(x^2)-2px+{(p^2)+q}】dx
　　　　=(2/6){(b-a)^3}

　　　(2/6){(b-a)^3}=(1/3)
　　　　　　　　　　b-a=1
　　　　{(b+a)^2}-4ab=1
Ａ、Ｂを代入して、
　　　　(p^2)-{2(p^2)+2q}=1
　　　　　　　　　-(p^2)-2q=1
　　　　　　　　　　-(p^2)-1=2q

　　　　　q=-(1/2)(p^2)-(1/2)
　　　　　x,yに置き直して、
　　軌跡はy=-(1/2)(x^2)-(1/2)　。

回答No.3

take_5

ANo.2さんの回答で、正しくは

　b-a=1　→　｜b-a｜＝1です。

それと、軌跡ですから、必要条件として求めるだけではなしに、十分条件の確認（軌跡の限界の確認）が必要です。

回答No.1

koko_u_

>途中で行き詰ってしまい先に進めません。
ほんじゃ、途中までを補足にどうぞ。