積分の問題です。

質問

実数tの値によって定まる放物線C(t): y＝x^2－2(t＋1)x＋t^2－2とする。また、直線L: y＝2mx＋nはtの値によらず放物線C(t)に接しているとする。
(1) tが実数全体を動くとき、放物線C(t)の頂点の軌跡を求めよ。
(2) m, nの値をそれぞれ求めよ。
(3) 2つの放物線C(1), C(3)、および直線Lが囲む図形の面積を求めよ。

どうぞ、よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

（１）
C(t)の式を平方完成すると
ｙ＝（ｘ－（ｔ＋１））＾２ー（ｔ＋１）＾２＋ｔ＾２－２
　＝（ｘ－（ｔ＋１））＾２－２ｔ－３
よってこの放物線の頂点は（ｔ＋１、－２ｔ－３）
ｔ＋１＝ｐ　とおいてｔ＝ｐ－１をこの座標に代入すると
（ｐ、－２ｐ－１）
よって求める軌跡は傾きー２、ｙ切片ー１の直線となる。

（２）
Ｃ（ｔ）およびＬの式より
２ｍｘ＋ｎ＝ｘ＾２－２（ｔ＋１）ｘ＋ｔ＾２－２
式を整理して
ｘ＾２－２（ｔ＋１＋ｍ）ｘ＋（ｔ＾２－ｎ－２）＝０　・・・（あ）
Ｃ（ｔ）とＬが接しているので（あ）の判別式＝０
４（ｔ＋１＋ｍ）＾２－４（ｔ＾２－ｎ－２）＝０
これを展開し、ｔに関する恒等式としてｔの係数＝０、定数項＝０とすればｍとｎの連立方程式になります。

（１）の結果から、２ｍ＝－２となりそうな気もします。Ｃ（ｔ）は頂点をＬ上におきながら斜めに平行移動していくので。

（３）
Ｃ（１）およびＣ（３）はそれぞれｔ＝１、ｔ＝３をＣ（ｔ)の式に代入します。あとは積分の計算だけです。図を書いて、どの積分区間でどんな式を積分すればいいか考えて下さい。