二次関数

質問

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

放物線y=2x^2を平行移動したもので、点(2,4)をとおり、頂点が直線y=2x-4上にある二次関数を求めよ。

という問題です。
y=2x-4をどのように式に入れたり、利用したりするのかわからずずっと考えています。y=2x^2にy=2x-4を代入してみたりしましたがうまくいきませんでした。

数学が苦手で未熟者ですが、一生懸命頑張りますのでよろしくお願いいたします。

回答No.2

ZIMA0063 · ベストアンサー

こんばんは。

まず、放物線y＝a x^2をx軸方向にt、y軸方向にsだけ平行移動すると、y＝a (x－t)^2＋s　になること、
そして、放物線y＝a (x－t)^2＋sの頂点の座標は（t，s）となること、
はご理解されていますでしょうか。

以上のことを理解されていることを前提に解説いたします。

まず、この手の「放物線の式を求める」問題。
放物線の式　y＝ax^2＋bx＋c　から、頂点を求めることをこれまでに勉強されたと思いますが、いかがでしょうか。

今度はその頂点を求める作業を反対にすれば、元の放物線の式が求められるのです。

では、「頂点はどこなんだ」ということになりますね。
そこで、問題文を読んでみますと、「直線y＝2x－4上にある」と書いてあります。

つまり、頂点P(と呼びます)は、(点Pのx座標とy座標の位置が)y＝2x－4を満たす座標にあるのです。

ですから、適当に頂点Pのx座標をtとしましょう(mでもsでも適当な文字でいいです)。
すると、頂点Pのy座標は「y＝2x－4」の関係から　2t－4　となりますね？

これで、頂点Pの座標を決めることができました。
　P（t，2t－4）　です。

ここまではよいでしょうか？　では続けます。

さて、頂点が(仮の形ですが)求まりましたので、これを平行移動させた式に代入します。

放物線y＝a (x－t)^2＋sの頂点の座標は（t，s）でしたから、
頂点P（t，2t－4）のときは、

　y＝a (x－t)^2＋2t－4
となりますね。

おっと、忘れていました。
この放物線(2次関数)は、「放物線y＝2x^2を平行移動したもの」という設定でした。すなわち、a＝2というのは変わりません。

ですから、先ほどの式は結局、
　y＝2(x－t)^2＋2t－4
というところまで求めることができます。

ここまで行けばもうゴールまでもう少しです。

上の放物線　y＝2(x－t)^2＋2t－4　は、点（2，4）を通るのですから、
x＝2、y＝4を放物線の式へ代入するわけです。

代入します。
　4＝2(2－t)^2＋2t－4
　　＝2(t^2－4t＋4)＋2t－4

移項させて、
　2t^2－8t＋8＋2t－4－4＝0

両辺を2で割って計算します。
　t^2－3t＝0

共通因数tでくくります。
　t（t－3）＝0

ゆえに、t＝0，3

最後に、求められたtの値を代入して放物線の式を求めます。

(i)t＝0(頂点Pの座標が（0，－4）のとき)
　y＝2x^2－4

(ii)t＝3(頂点Pの座標が（3，2）のとき)のとき
　y＝2(x－3)^2＋2・3－4
　　＝2(x－3)^2＋2　　　　←ここまででもよい
　　＝2x^2－12x＋20　　　　←問題文によってはここまで書く

以上です。
また何かあれば、補足で説明します。

お礼

ありがとうございます。

すごくわかりやすくておかげさまで頑張れそうです。
本当にありがとうございました！！

回答No.3

noname#57605

放物線の性質

*形状はｘ＾2の係数で決まる。
[>この問題ではy=2x^2を平行移動したものとなっていますから、
答えもｘ＾2の係数は2です(平行移動しても形状は変わらない)。

*頂点が点(p,q)の放物線はy=a(x-p)^2+qで表される。
[>上でａ＝２　(x^2の係数が2)と決まっていますから
　求める放物線はy=2(x-p)^2+q

あとは条件を使うだけです。
*点(2,4)をとおり
[>４=2(２-p)^2+q

*頂点が直線y=2x-4上にある
[>ｑ=2ｐ-4

あとは以上2式を連立して解くだけです。
４＝2(4+p^2-4p)+q
=2(4+p^2-4p)+2p-4

0=p^2-3p
=p(p-3)

p=0、q=-4 、頂点(0,-4)のとき
　y＝2x^2－4

p=3、q=2、頂点(3,2)のとき
　y=2x^2－12x＋20

となります。

お礼

ありがとうございました
とても参考になりました☆

回答No.1

andre39

もとの関数の頂点が(0,0)なので、平行移動後頂点がy=2x-4にある場合、平行移動後の関数の頂点は(a, 2a-4)となります。
あとは頑張って下さい。

お礼

ありがとうございました
。とってもわかりやすかったです。
頑張ります♪