軌跡と存在するための条件について
疑問に思ってしまったので、どうかよろしくお願いします。
問題）2直線mx-y+4m+21=0、x+my+3m-14=0の交点の軌跡を求めよ。
答え）点（X,Y）が求める軌跡上の点であるための条件は、
mX-Y+4m+21=0 かつ X+mY+3m-14=0
を満たす実数ｍが存在することである。上式をmについて整理すると、
(X+4)m-Y+21=0------(1) かつ X-14+(Y+3)m=0------(2)
となるから、その条件は、
その1) X+4≠0のとき、(1)によって定まる定数m=(Y-21)/(X+4)が(2)を満たすこと、
すなわち、X-14+(Y+3)・(Y-21)/(X+4)=0
∴(X-5)^2+(Y-9)^2=15^2----(3)（ただし、X≠-4より(-4,-3),(-4,21)は除く)
その２）X+4=0のとき(1)を満たす実数ｍが存在するための条件は、(X,Y=(-4,21)
以上により、求める軌跡は、円(x-5)^2+(y-9)^2=15^2、ただし、点(-4,-3)は除く
疑問点）(1)かつ(2)の条件を求めるときに、「mが存在するためのX,Yの条件を求めるのに、mを消去して得られる」との事なのですが、いまいちこの技術が見えません・・・どうしてｍを消去することにより、ｍが存在するためのX,Yの条件が求まるのでしょうか。
良く、参考書には「文字定数を消去することにより出来た方程式で、その軌跡を得ることになる」とありその通りに使っていたのですがどういう事が起きているのか良く分からないのです・・・
高校数学のレベルなら、その通り覚えて使っていくほうが良いのでしょうか？
お礼
おおおお ありがとうございます！