軌跡の問題です

質問

放物線ｙ=ｘ^2と直線ｙ=ｍｘ＋ｍ（ｍ＞0）の交点をＰ，Ｑとする。
ｍが変化するとき、線分ＰＱの中点の軌跡を求めよ。
という問題です。
答えはｙ＝2ｘ^2＋2ｘ（ｘ＞0）とわかっているのですが
途中の計算がさっぱりです。
教えてください。お願いします。

ちなみにｘ^2とはｘの二乗という意味です。
初めてだから書き方が違うかもしれませんが・・・

回答No.1

HitomiKurose · ベストアンサー

P,Qのx座標はx^2=mx+m即ちx2-mx-m=0の解ですが、判別式D=m^2+mx>0ですので、常に異なる２実数解を持ちます。
これをα,βと置くと、解と係数の関係により、α+β=m。
P(α,mα+m),Q(β,mβ+m)
よって、P,Qの中点は、
x=(α+β)/2=m/2 (>0 ここで定義域が出ます。)
y=m(α+β)/2+m=m^2+m
mを消去して、y=2x^2+2x

お礼

とてもわかりやすいです。
どうもありがとうございました。