数学の軌跡

質問

問：放物線ｙ=２ｘ^の頂点から引いた弦の中点はどんな曲線をえがくか.

この問題の解答をお願いします

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

放物線の式が

> ｙ=２ｘ^

となっていますが，

y = 2x^2

と解釈しますと，この放物線上の点(t,2t^2)と頂点(0,0)との中点の座標は
(x,y) = (t/2,t^2)
と表すことができる．

t = 2x を y = t^2 に代入して
y = (2x)^2 = 4x^2.

これが求める軌跡．

∴求める軌跡は放物線 y = 4x^2.

お礼

ありがとうございました

回答No.3

noname#154783

ANo.1です．

> 十分性に関する、さりげないヒトコトを忘れずに。

alice_44様，おっしゃる通りです．

# alice_44様，いつぞやはコメントありがとうございます．

それと，忘れてたことがあります．

放物線上の点P(t,2t^2)と頂点O(0,0)との中点の座標は
(x,y) = (t/2,t^2)
と表すことができる．

…のですが，確かに任意の実数tに対して，点P(t,2t^2)は元の放物線上の点ではあるのですが，t = 0のとき頂点Oと点Pが一致してしまい，「弦OPが定義できない．したがって，その中点も定義できない」ということになります．

そこで，以下のようにします．

放物線上の点Pの座標は(t,2t^2)と表すことができ，t ≠ 0に対して，弦OPの中点の座標は
(x,y) = (t/2,t^2).

tを消去して，y = 4x^2 が得られる．

t ≠ 0であるから，x ≠ 0であり，このとき点Pは放物線y = 4x^2上の，点(0,0)以外のあらゆる点を動きうる．

したがって求める軌跡は放物線 y = 4x^2．ただし原点(0,0)を除く．

回答No.2

alice_44

十分性に関する、さりげないヒトコトを忘れずに。