ガウス積分みたいです。

質問

ある期待値（または平均値）を計算する中にでてくるんですが、∫[-∞,∞]x・exp(-ax^2)dxの積分ってどうやればいいんですか？部分積分でやると、こんがらがってしまいます。
ガウス積分なんですか？
∫[-∞,∞]x^2・exp(-ax^2)dxの積分は1/2a*(π/a)^(1/2)っていうのは、いろんなサイトや教科書にもでていますが、前者にあげたｘの１乗の場合がどうしたらいいかわかりません。ガウス積分に一般式でもあるのでしょうか？
急なお願いになってしまうのですが、お願いします。

回答No.1

siegmund

だいたい，奇関数の -∞ から ∞ の積分なのですから
答は自明でしょう(積分が収束するなら)

この関数は不定積分が求まります．

x^2 = t
とでもおいてみましょう．

あるいは
(d/dx) exp(-ax^2)
はどうなるでしょうか．

お礼

ただの置換積分にもおけるんですね‥。基礎ができてませんでした。しかも奇関数と偶関数の違いすらもよく把握できてないし。ダメダメです。