積分問題なのですが一般解（式）にあらわすことはできますか？どうぞよろしくお願いいたします

質問

いま、ある回路に電流を流すとき、
ｆ１をその電圧の分布（ｘが電圧）
ｆ２をその電圧のときに電球（たとえば）が壊れる確率

f1(x)= 1/√2πσ1 exp -(x-u1)^2 /2σ1 ^2
f2(x)= 1/√2πσ2 exp -(x-u2)^2/2σ2 ^2

としたとき、
任意に電流を流したときに電球が壊れる確率を求めたいとおもっているのですが、

　ある電圧aで壊れる確率は ∫_(x≦a)ｆ2 dxだから　

　求めるのは

　∫｛ｆ1(X)・∫_(ｙ≦ｘ)ｆ2 dｙ｝ｄｘ　となると思うのですが
　あっていますか？？

　あと、これを計算して一般的な式にあらわすことはできますか

回答No.2

arrysthmia

訂正です：
f_1 (x) = (1/√2)πσ_1 exp( -(1/2){ (x - u_1) / σ_1 }^2 )
では確率分布関数にならないし、
f_2 (x) = (1/√2)πσ_2 exp( -(1/2){ (x - u_2) / σ_2 }^2 )
では確率密度関数になりませんね。
両方とも正規分布で、
f_1 (x) = { 1/((√2π)σ_1) } exp( -(1/2){ (x - u_1) / σ_1 }^2 )
f_2 (x) = { 1/((√2π)σ_2) } exp( -(1/2){ (x - u_2) / σ_2 }^2 )
が確率密度関数ということでしょうか。

下記と類似の考え方で、求める確率は ∫{ f_2 (x) }{ f_1 (x) } dx ですが、
{ f_2 (x) }{ f_1 (x) } = (定数) exp( xの２次式 ) という形になりますから、
２次式部分を平方完成して余分な定数項を exp の前へ括り出せば
∫exp(-x^2) dx = √π を使って計算できます。

回答No.1

arrysthmia

電圧 x の確率密度が f_1 ' (x) ですから、
電圧が x から x + dx の範囲にある確率は f_1 ' (x) dx です。
電圧が x のとき電球が壊れる確率（密度？）が f_2 (x) ならば、
電圧が x から x + dx の範囲にあって
かつ電球が壊れる確率は { f_1 ' (x) dx }{ f_2 (x) } です。
これを x に沿って集めれば、求める確率
∫{ f_2 (x) }{ f_1 ' (x) } dx になると思います。

f_2 (x) = (1/√2)πσ_2 exp( -(1/2){ (x - u_2) / σ_2 }^2 )、
f_1 (x) = (1/√2)πσ_1 exp( -(1/2){ (x - u_1) / σ_1 }^2 )
ならば、
{ f_2 (x) }{ f_1 ' (x) } = { xの1次式 }{ exp( xの2次式 ) }
という形に整理できますから、
あとは部分積分法を使って計算できるでしょう。
（答えは、たぶん計算間違いしそうなので省略します。）