確率について

質問

さきほど（11月10日11:40ＰＭ頃）、ＮＨＫラジオ第一放送でゲストの方が言っていたことなのですが、確率の問題で気になったので質問します。

テレビの番組の話で、クイズのことです。
Ａ、Ｂ、Ｃの3つのドアがあり、そのうちの一つのドアの向こうに当たりの賞品の車があります。
司会者が回答者にそのうちの一つを選ばせます。
回答者は仮にＡを選んだとします。
そのとき正解を知っている司会者が、はずれと分かっているＣのドアを開けて中が空っぽであることを見せ、回答者に再度問います。「本当にＡでいいですか？」
この時、回答者が最初に選んだＡを撤回し、Ｂを選ぶと正解になる確率が大きくなる・・・・。

そのようなお話でした。
わたしはＡを撤回し、Ｂを選んだとしても確率は変わらないような気がするのですがなにぶん数学は不得手なもので、素人にもわかるようにご教示くださいませんでしょうか。
途中から聴き始め、都合で途中でラジオを消してしまったのでとても気になっています。

回答No.5

Ishiwara · ベストアンサー

この問題は、十数年も前にアメリカの雑誌に出され、多くの大学教授クラスの人が引っかかったことで有名になりました。多くの数学者が、投書で出題者の女性をバカにして、最後にこの女性が、これらの投書を公表して復讐したということです。

「モンティホール問題」として有名ですが、モンティホール自身は、有名なテレビクイズの司会者で、この問題とは直接には何のかかわりもない、と聞いています。

私は、パソコンで１００万回の試行（モンテカルロ・シミュレーション）をしてみましたが、撤回が○のケースが約６７万回、撤回が×のケースが約３３万回で、＃４さんの言われるとおりの結果になりました。

ごく初心者向けの類似問題があります：
（オモテ赤、ウラ赤）（オモテ赤、ウラ白）（オモテ白、ウラ白）のカードが各１枚ある。ここから任意のカードを１枚取り出して机上に置いたら赤だった。その反対側の赤/白の確率は？

お礼

ありがとうございます。

> ごく初心者向けの類似問題があります：

任意のカードを１枚取り出して机上に置いたら赤ということは、（オモテ赤、ウラ赤）か（オモテ赤、ウラ白）のいずれかですから、その反対側の赤/白の確率は単純に考えると1/2に思えますが、実際は違うのでしょうね。どういう計算をするのか分かりませんが。

パソコンで１００万回の試行をされたとのことですが、もしエクセルＶＢＡでやられたのならコードをご教示いただけると幸いです。（ＶＢＡなら多少かじっていますので興味があります）

回答No.10

kumipapa

> ごく初心者向けの類似問題があります：

> 任意のカードを１枚取り出して机上に置いたら赤ということは、（オモテ赤、ウラ赤）か（オモテ赤、ウラ白）のいずれかですから、その反対側の赤/白の確率は単純に考えると1/2に思えますが、実際は違うのでしょうね。どういう計算をするのか分かりませんが。

騙されちゃあいけません。
机上に置いたら赤ということは、見えている赤は次の３通りのいづれかです。
（オモテ赤、ウラ赤）のオモテ赤　・・・＞　その裏は赤
（オモテ赤、ウラ赤）のウラの赤　・・・＞　その裏は赤
（オモテ赤、ウラ白）のオモテ赤　・・・＞　その裏は白
だから、見えている赤い面の裏が赤の確率は２／３でしょう。

お礼

あっ！な～るほどぉ。 （￣□￣；）！！

すっかり騙されてました。ありがとうございます。

回答No.9

ILOVMIKI39

No８です。
参考のサイトを熟読させて頂きました。
やっと理解しました。
私が間違っていたのですね。
勉強になりました。

お礼

ほんとにこのサイト、勉強になりますねえ。

回答No.8

ILOVMIKI39

私はただの素人なので難しい事は分かりませんが
Ａ、Ｂ、Ｃ のどれが当たりであっても、そして選択者が当たりを選んでもハズレを選んでも
最終的には２択になるので１回目の選択は実際には意味の無い事だと思います。

必ず２択になるならその時点での確率は１/２だと思います。変えても変えなくても１/２です。
これは選択肢が１０００でも同じだと思います。
つまり司会者が必ず２択に持ち込むのだからそれまでの行為は無視出来ると思います。
条件が変わった(選択肢が減った)のに変えない時の確率が１/３のままはおかしいと思います。
３つの内の当たり１つがどれか分からないから１/３なんですよ。
選択肢が減って２択になっても１/３のままにしておくのはおかしいと思います。
条件が変わったのだからきちんと仕切り直すべきです。

もし視聴者が番組を途中から見た場合、２択の場面から見始めた場合、当てるのに不利有利が起きるのでしょうか？
最終的には誰の目にも２択で平等なのではないでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
わたしも最初はそう思ったんですよ。
Σ（￣ロ￣lll)

回答No.7

Ishiwara

＃５です。
初心者向けの類似問題：
> 反対側の赤/白の確率は単純に考えると1/2に思えますが、
答だけ申し上げると「1/2は間違い」です。

> エクセルＶＢＡならコードをご教示いただけると幸いです。
ＶＢＡではありません。ふつうのＶＢです。

Private Sub draw(x As Integer) ' 乱数 x = 0, 1, 2 のどれかを返す
Do
y = Rnd(1)
If y <= 0.3 Then x = 0: Exit Sub
If y <= 0.6 Then x = 1: Exit Sub
If y <= 0.9 Then x = 2: Exit Sub
Loop
End Sub

Private Sub cmdRun_Click()
Dim p As Integer ' クルマの入っているドアの番号
Dim q As Integer ' 解答者が最初に選ぶドアの番号
Dim r As Integer ' 司会者が開けるドアの番号
Dim s As Integer ' 解答者が最終的に選ぶドアの番号
Dim result(1, 1) As Long
For i = 1 To 1000000
draw p
draw q
Do
draw r
Loop Until r <> p And r <> q
Do
draw s
Loop Until s <> r
If s = q Then Changed = 0 Else Changed = 1
If s = p Then hit = 1 Else hit = 0
result(Changed, hit) = result(Changed, hit) + 1
Next i
Debug.Print result(0, 0), result(0, 1), result(1, 0), result(1, 1)
End Sub

お礼

VBのコード、ありがとうございます。
勉強になりました。

補足

VBのコードを教えてもらったのでVBAでやってみました。
VBAでも下記でうまく行きました。
1億回計算させましたが同様の結果でした。

Sub TEST01()
Dim p As Integer ' クルマの入っているドアの番号(1～3)
Dim q As Integer ' 解答者が最初に選ぶドアの番号
Dim r As Integer ' 司会者が開けるドアの番号
Dim s As Integer ' 解答者が最終的に選ぶドアの番号
Dim result(1, 1) As Long
Dim i As Long, Changed As Long, hit As Long

For i = 1 To 100000000
Randomize
p = Int(Rnd * 3) + 1
q = Int(Rnd * 3) + 1
Do
r = Int(Rnd * 3)
Loop Until r <> p And r <> q
Do
s = Int(Rnd * 3) + 1
Loop Until s <> r
If s = q Then Changed = 0 Else Changed = 1
If s = p Then hit = 1 Else hit = 0
result(Changed, hit) = result(Changed, hit) + 1
Next i
Debug.Print result(0, 0), result(0, 1), result(1, 0), result(1, 1)
'それぞれ、変更無し＆ハズレ、変更無し＆アタリ、変更＆ハズレ、変更＆アタリ
End Sub

回答No.6

kumipapa

私もひっかかった人間の一人です。
＃４さんがおっしゃる通りで、
回答者がＡを選んだ時点で、Ａが当たりの確率は１／３、ＢまたはＣが当たりの確率は２／３。そこで正解を知っている司会者がＣがハズレであることを示しても、「ＢまたはＣが当たりの確率は２／３」という状況に変化は無いんですね。なんとなく、ＣがハズレでＡとＢが残っているのだから、Ａ，Ｂが当たりである確率は１／２のような気がすると思うのですが、それが違う。

回答者がＡを選んだ時点で、司会者が取り得る行動は次のうち３つ。

・Ａが当たりなので、Ｂを開いてみせる　　ＡＢ
・Ａが当たりなので、Ｃを開いてみせる　　ＡＣ
・Ｂが当たりなので、Ｃを開いてみせる　　ＢＣ*　（Ａは開きたくても開けない）

このとき、ＡＢ、ＡＣは同じ確からしさで起き得るのだけど、ＢＣ* はＡＢやＡＣの２倍の確からしさで起きる。で、司会者がＣを選んだとなると、ＡＣとＢＣ* のいずれかであるから、Ａが当たりであるＡＣよりも、ＢがあたりであるＢＣ* の方が２倍の確からしさがあり、Ｂが当たりである確率はＡが当たりである確率の２倍。

ＢＣ* の確からしさが２倍というのが胡散臭いということであれば、次のように考える。回答者がＡを選んだ時点で、司会者が取り得る判断および行動は次のうち４つ。

・Ａが当たりなので、Ｂ，ＣのうちＢを開いてみせる　　ＡＢ
・Ａが当たりなので、Ｂ，ＣのうちＣを開いてみせる　　ＡＣ
・Ｂが当たりなので、Ｃ，ＡのうちＣを開いてみせる　　ＢＣ
・Ｂが当たりなので、Ｃ，ＡのうちＡを開けないのでＣを開いてみせる　ＢＡＣ

こう考えると、ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ，ＢＡＣはどれも同じ確からしさで起こり得ると考えられる。ここで、司会者がＣを開いて見せたから、この時点で残っているケースはＡＣ，ＢＣ，ＢＡＣの３つ。このうちＡが当たりなのは１／３で、Ｂが当たりなのは２／３

お礼

なるほど、そういう考え方をするのですね。
ありがとうございました。

回答No.4

zk43

これは、モンティホール問題というとても有名な問題です。
（アメリカのテレビ番組だったか？当時、相当な議論を巻き起こした
問題のようです。）
まず、ドアを替えないで当たる確率は、最初に選んだドアが当たりの場
合なので、1/3です。
ドアを替える場合に当たる確率は、最初に選んだドアが外れの場合なの
で、2/3です。
ドアが３つと少ない場合は、感覚的に確率が上がることが理解できない
かも知れませんが、たとえば、ドアが1000枚あったとします。
このうち、１つが当たりです。
まず、１枚のドアを選んで、司会者が残りのドアのうち、998枚のはず
れのドアをすべて開けて見せるとします。
こうなると、開けられなかった1枚のドアが当たりであると強く感じら
れるでしょう。
この場合、ドアを替えないで当たる確率は、最初に選んだドアが当たり
の場合なので、1/1000。
ドアを替えて当たる確率は、最初に選んだドアが外れの場合なので、
999/1000。
同じルールで、もっとドアが多い場合を考えても良いです。
一般に、ドアがn枚ある場合は、ドアを替えない場合は1/n、ドアを替え
る場合は(n-1)/nが当たる確率になるでしょうか。

お礼

わかりやすい解説をありがとうございました。
なるほどそういうものなのですね。

回答No.3

gakutensoku

無粋な回答となりますが、この問題は
「モンティ・ホール問題」と呼ばれるものです。

詳細な内容は、参考URLをご参照ください。

ラジオに出演されていた方がどなたか気になります。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

お礼

参考ＵＲＬ有難うございました。

> ラジオに出演されていた方がどなたか気になります。

http://www.nhk.or.jp/radiodir/pro/shinya.html

で見ると、宗教人類学者　植島啓司氏のようです。

回答No.2

chicken_man

参考にどうぞ。
http://homepage3.nifty.com/sugaku/3door.htm

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

お礼

「モンティ・ホール問題」と言うのですね、初めて知りました。
参考ＵＲＬ有難うございました。

回答No.1

koko_u_

>素人にもわかるようにご教示くださいませんでしょうか。
確率の計算を省いて説明すると、司会者がアタリのドアを知っていることが重要です。
回答者にハズレのドアを見せることで、司会者の知識の一部が回答者に伝搬すると考えて下さい。

お礼

ありがとうございます。