三つの扉

質問

外国のテレビの企画で三つの扉(A、B、C)がありその中の一つに正解があり、まずチャレンジャーがAの扉を選択すると司会者がBとCのうち、正解でないほうを開けて残った二つの扉から、また選ばせるという企画で、実は残った二つのうち、確率的に有利なほうがあると聞きました。詳しい方教えてください。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

一億個の扉

こういうパラドキシカルな確率の問題は極端な例を考えてみると結果が見えやすくなります。

扉が一億個あったとします。その中に正解が一つだけあります。チャレンジャーがひとつ選びます。まず当たるわけがないですよね。そこで司会者が、仕方がないので、正解でない箱を9999万9998個開けてあげるといって、その通りにします。残るは、最初に自分が選んだ箱と、もうひとつの箱。確率的に有利な箱は最初に選ばなかった箱に違いないはずです。

これは何をしていることになるか考えてみます。初めに選んだ箱が正解である確率は変わらないのです。司会者が何をしようが。ところが、司会者はチャレンジャーが選らんだ箱以外はたったひとつを残して、全部消してしまった。ただし正解の箱は残したまま。このことは、チャレンジャーが最初に選んだ箱以外の箱をひとつの箱にまとめてしまった、と考えられるわけです。もともとすべての箱には同じ確率で正解が入っていたと考えられるわけですから、まとめられた箱には正解が入っている確率はまとめた分だけ倍された確率で正解が入っていることになるわけです。

回答No.6

Ishiwara

モンティ・ホールは、有名なクイズ番組の司会者で、この問題とは直接のかかわりはありません。場面がテレビの番組を連想させるので、こう呼ばれたものと思います。

1991年に雑誌『パレード』にセイヴァントという女性数学者が、この問題の解説を載せたところ、読者からの手紙が殺到。そのうち９割は「どちらを選んでも確率が１/２だ」という誤った答でした。しかも、その誤答の中には大学教授クラスの数学者が多く含まれており、解説者を非難・罵倒するものも少なくなかった。パレード誌には、そうした人の実名が掲載されたということです。

正しくは、解答者がＡに固執すれば確率は1／３、Ａでないほうに変更すれば２／３です（No.3 No.4 氏が正しい）。私はモンテカルロ法で確認しました。

回答No.5

Quattro99

三つの扉を一つと二つに分け、正解が入っている確率が高い方を選べ（あるいは、二つの方を選んだら、両方開けてもよい）というのと同じことをしていることになっていると思います。
そう考えると直感的にも二つの方を選んだ方が正解する確率が高いことがわかると思います。

回答No.4

chiropy

ANo.3です。もっと単純に考えてみます。（こちらの方が理解しやすい？感覚的なものかもしれませんが。）

始め不正解を選んだ場合選び直さなければ正解できません。
逆に始め正解を選んでいた場合選びなおすと不正解になってしまいます。
ここで始め正解を選ぶ確率1/3,不正解を選ぶ確率2/3ですから、扉を選びなおせば2/3の確率で正解の扉を選ぶことになるのです。
逆に選びなおさなければ2/3の確率で不正解の扉を選んでしまうことになります。
よって扉は選びなおす方が正解のものを選ぶ確率が高くなります。

司会者が確実に不正解の箱をどけてくれ、自分が最初に選ぶ箱が不正解である確率が高いから、残っている箱は正解である確率が高いと言うことですね。

回答No.3

chiropy

●始めに正解の扉を選んでいる場合（1/3の確率）
この時扉を換えた時正解の確率は0
この時扉を換えないとき正解の確率は(1/3)*(1/2)=1/6
●始めに不正解の扉を選んでいる場合（2/3の確率）
この時扉を変えた場合正解の確率は(2/3)*(1/2)=(1/3)
この時扉を変えた場合正解の確率は0

以上より正解の扉を選ぶ確率は
扉を選びなおした時0+1/3=1/3
扉を選びなおさない時1/6+0=1/6
より扉を選びなおした方が正解の扉を選ぶ確率が高い

回答No.1

revolution_2005

世界の著名な数学者までもが間違ってしまったという有名な問題ですね。

モンティーホールジレンマと検索してみてください。色々でてきます。