AがCに勝つ確率はどれくらい？

2014/06/15 03:01

このQ&Aのポイント

AがBに勝つ確率と、BがCに勝つ確率から、AがCに勝つ確率が計算できますか？
A、Bの２人で競走をした時、Aが勝つ確率を2/3とします。 B、Cの２人で競走をした時、Bが勝つ確率を2/3とします。この時、A、Cの２人で競走をした時、Aが勝つ確率は計算できますか？
A、B、Cの３人で競走をした時、それぞれが優勝する確率を計算しようとしたのですが AがCに勝つ確率をXとすると Aが優勝する確率は、2/3*X Bが優勝する確率は、1/3*2/3=2/9 Cが優勝する確率は、(1-X)*1/3 となってしまいます AがCに勝つ確率は133％って変ですよね計算の仕方を間違えてますね Cが優勝する時、Aに勝っているのに、Bには1/3の確率でしか勝てないってのは変だし…

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数学・算数
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QoooL
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2014/06/15 10:04 回答No.3

こんにちは。きっと、こないだのイロレーティングの話から、こういう疑問がわいたのですね？まず結論から言うと、数学の世界では、計算ができません。ただイロレーティングの世界では、計算ができます。なぜならレーティングでは、Ａ＞Ｂ＞Ｃ　という序列が仮定されれば、ＡがＣに勝つ確率は　１／２　より大きくないと、均衡が崩れるからです。だからウィキペディアのページには、 ------------------- 3人の対局者A,B,Cについて AがBに勝利する確率をＥAB、 BがAに勝利する確率をＥBA などと定める。対局者間の勝率について次のような「仮定」を置く。ＥAC／ＥCA＝（ＥAB・ＥBC）／（ＥBA・ＥCB）　・・・式１ ------------------- と書いてあって仮定という言葉が使ってあるのです。現実社会ではこのような仮定が崩れることもしばしばありますね。他の方がおっしゃるジャンケンも正にそうです。ギャンブルには特に、この仮定が当てはまらないと思いますよ、私は全くやりませんけど。競輪は特に、誰がどこの出身か、誰と誰が先輩後輩の関係か、という要素が重要と聞きます。競馬でも、逃げ切りとかまくりとか、馬のタイプの相性、鞍上の騎手のうまさによって勝率はだいぶ変動するようですね。「引退記念」レースともなればそれも無視できません。サッカートトでも、ホームかアウェーか、緒戦で緊張しているか、といった要素が影響するでしょう。超天才と言われるホーキング博士が、「サッカーである国が勝つ方程式」　というのを発表していて、なかなかおもしろかったです。実力に比例しそうなテニスの世界ですら、パワープレイヤーか、ラリープレイヤーかで相性が分かれますね。ということは、将棋の世界でも、穴熊だの棒銀だの振り飛車だの、「クセ」による相性があるわけです。例え「どんな展開にも柔軟に対応できる」プロであろうとも。いわゆる「番狂わせ」が起きますね。さて、式１はこう書き直せます。ＥAB・ＥBC・ＥCA　＝　ＥBA・ＥCB・ＥAC　・・・式２分数がない方が人間にとって自然でしょう？　（まあ確率自体が分数ですが）一見ややこしいですけど、左辺は　ＡがＢ、ＢがＣ、ＣがＡ　という順で循環ですし、右辺は　ＡＢ　を　ＢＡ　に置き換えるなど、逆にしているだけです。で、この式にＥAB＝２／３ＥBC＝２／３ＥAC＝Ｘと、ＥBA＝１／３ＥCB＝１／３ＥCA＝１－Ｘを代入すると、Ｘ＝４／５が得られます。 A、Bの２人で競走をした時、Aが勝つ確率を2/3とします。 B、Cの２人で競走をした時、Bが勝つ確率を2/3とします。この時、A、Cの２人で競走をした時、Aが勝つ確率はイロレーティング上、４／５と計算できます。まあ、妥当な数字ですね、ＣがＡに挑むのは、まだちょっと早い、という感じですね。仮に勝てば、レーティングがかなり上がりますよ。で、 AがBに勝ち、かつ、AがCに勝つ　８／１５ BがAに勝ち、かつ、BがCに勝つ　２／９ CがAに勝ち、かつ、CがBに勝つ　１／１５です。なぜ足して１にならないか。重大な思い違いをしているのです。 2/3*X+(1-X)*1/3+2/9＝1 も間違いです。足して１になるのは、「考え得る全てのケースの確率」を足したときです（全事象）。「Ａが優勝する確率は」と書いていますけど、まあもちろん前提としては、「勝つか負けるかが必ず決まり、引き分けはない」ということでしょうけど、３すくみになった場合に現実のリーグ戦のように「得失点差」で優勝者を決めたり、今回の問題の場合特別に「勝率」で優勝者を決めたりするかどうか、がまだ定められていません。つまり、「誰も優勝しない確率」　を計算から漏らしているということです！ AがBに勝ち、BがCに勝ち、CがAに勝つ　４／４５ AがCに勝ち、BがAに勝ち、CがBに勝つ　４／４５これも全て足して（互いに、同時に起こることはあり得ない）初めて足して１になるのです。 AがCに勝つ確率が１をオーバーした一つの理由はですね、このような、　　３者いずれも１勝１敗　という確率も、AがCに勝つ確率の中に足し込んでしまったからですよ。

質問者

お礼 2014/06/17 15:33

回答有難う御座います私の書き方が悪かったのです３人が同時に走った場合のことを聞いていたのです投稿し終わった後で、計算できないことに気付きました

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noname#227064

2014/06/15 08:14 回答No.2

> AがBに勝つ確率と、BがCに勝つ確率から、AがCに勝つ確率が計算できますか？できません。 > Aが優勝する確率は、2/3*X > Bが優勝する確率は、1/3*2/3=2/9 > Cが優勝する確率は、(1-X)*1/3 ここに、「AはBに勝ち、BはCに勝ち、CはAに勝つ確率」と「AはBに負け、BはCに負け、CはAに負ける確率」を加えてください。 Xが求められないことがわかります。 > Cが優勝する時、Aに勝っているのに、Bには1/3の確率でしか勝てないってのは変だし… 別におかしくはありません。三すくみに状況になっているだけです。

質問者