数学の確率を教えてください。

質問

１、２、３、６と書かれた玉がそれぞれ袋のなかに１こずつ入っていて

１こ取り出して戻すことを３回繰り返し出た順にa,b,cとするとき
(1)a+b+cが奇数になる確率を教えてください。
(2)a*b*cが偶数になる確率を教えてください。
(3)a*b*cが６の倍数になる確率を教えてください。
(4)a*b+b*c+c*aが３の倍数になる確率を教えてください。

回答No.1

alice_44

a,b,c が、独立に等確率で { 1,2,3,6 } の値をとる
という設定ですよね？

(1)
a+b+c が奇数になるのは、奇数１個＋偶数２個のときと
奇数３個のときです。この二つの確率を足せばいい。
奇数１が個になる確率は、(3C1)(2/4)(2/4)^2、
奇数１が個になる確率は、(3C3)(2/4)^3(2/4)^0 なので、
求める確率は、3(1/2)^3 + (1/2)^3 = 1/2。

(2)
abc が偶数になるのは、奇数３個ではないときです。
(1) の途中計算を流用して、
求める確率は、1 - (1/2)^3 = 7/8。

(3)
a,b,c が６の倍数になるのは、６が含まれるか、または
２と３の両方が含まれるときです。
６が含まれる確率は、1 - (3/4)^3。
６が含まれないで２と３が含まれる確率は、
1,2,3 が出る確率 (3!)/4^3 と
2,2,3 が出る確率 (3C1)/4^3 と
3,2,3 が出る確率 (3C1)/4^3 の合計です。
求める確率は、37/64 + 6/64 + 3/64 + 3/64 = 49/64。

(4)
これはもう、a,b,c の出目 64 通りを全て書き出して
チェックしてしまったほうが早いと思います。
下記のように、３の倍数となる出目は 34 通りですから、
求める確率は、34/64 = 17/32。

書き出してみると、式の値が３の倍数になるのは、
a,b,c に 3 か 6 が２個以上含まれるときと
1,1,1 か 2,2,2 のときだと判るのですが、
書き出さないでそれを見つけるのは、難しいかなあと。

1 , 1 , 1 　値 3 ○１
1 , 1 , 2 　値 5 ×
1 , 1 , 3 　値 7 ×
1 , 1 , 6 　値 13 ×
1 , 2 , 1 　値 5 ×
1 , 2 , 2 　値 8 ×
1 , 2 , 3 　値 11 ×
1 , 2 , 6 　値 20 ×
1 , 3 , 1 　値 7 ×
1 , 3 , 2 　値 11 ×
1 , 3 , 3 　値 15 ○２
1 , 3 , 6 　値 27 ○３
1 , 6 , 1 　値 13 ×
1 , 6 , 2 　値 20 ×
1 , 6 , 3 　値 27 ○４
1 , 6 , 6 　値 48 ○５
2 , 1 , 1 　値 5 ×
2 , 1 , 2 　値 8 ×
2 , 1 , 3 　値 11 ×
2 , 1 , 6 　値 20 ×
2 , 2 , 1 　値 8 ×
2 , 2 , 2 　値 12 ○６
2 , 2 , 3 　値 16 ×
2 , 2 , 6 　値 28 ×
2 , 3 , 1 　値 11 ×
2 , 3 , 2 　値 16 ×
2 , 3 , 3 　値 21 ○７
2 , 3 , 6 　値 36 ○８
2 , 6 , 1 　値 20 ×
2 , 6 , 2 　値 28 ×
2 , 6 , 3 　値 36 ○９
2 , 6 , 6 　値 60 ○１０
3 , 1 , 1 　値 7 ×
3 , 1 , 2 　値 11 ×
3 , 1 , 3 　値 15 ○１１
3 , 1 , 6 　値 27 ○１２
3 , 2 , 1 　値 11 ×
3 , 2 , 2 　値 16 ×
3 , 2 , 3 　値 21 ○１３
3 , 2 , 6 　値 36 ○１４
3 , 3 , 1 　値 15 ○１５
3 , 3 , 2 　値 21 ○１６
3 , 3 , 3 　値 27 ○１７
3 , 3 , 6 　値 45 ○１８
3 , 6 , 1 　値 27 ○１９
3 , 6 , 2 　値 36 ○２０
3 , 6 , 3 　値 45 ○２１
3 , 6 , 6 　値 72 ○２２
6 , 1 , 1 　値 13 ×
6 , 1 , 2 　値 20 ×
6 , 1 , 3 　値 27 ○２３
6 , 1 , 6 　値 48 ○２４
6 , 2 , 1 　値 20 ×
6 , 2 , 2 　値 28 ×
6 , 2 , 3 　値 36 ○２５
6 , 2 , 6 　値 60 ○２６
6 , 3 , 1 　値 27 ○２７
6 , 3 , 2 　値 36 ○２８
6 , 3 , 3 　値 45 ○２９
6 , 3 , 6 　値 72 ○３０
6 , 6 , 1 　値 48 ○３１
6 , 6 , 2 　値 60 ○３２
6 , 6 , 3 　値 72 ○３３
6 , 6 , 6 　値 108 ○３4