ばねによる弾性エネルギーと力学的エネルギー。

質問

上端を固定したばねに、質量mのおもりをつけた。おもりを自然長の位置から静かに下げていくと、のびがaのときにつり合った。重力加速度の大きさをg、重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置とする。
(1)つり合いの位置での力学的エネルギーをaを使って表せ。
(2)再び自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離したところ、
おもりはつりあいの位置を中心に上下に単振動をした。つりあいの位置でもおもりの速さを求めよ。
(3)ばねの最大の伸びはいくらか。

まず（2）から質問。回答では自然長とつりあいの位置で、力学的エネルギー保存の法則を使って

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×０^2 = mg(-a) + 1/2mv^2 + 1/2ka^2

となっていました。
この右辺は簡単に理解できます。つりあいの位置での全力学的エネルギーです。
しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね？

右辺は物体を付けた状態の時のエネルギーなのに、左辺はそもそも物体を付けてない時の状態の力学的ねるぎーです（とはいっても０ですが。）

これが解答である以上私が間違っているのですが、おかしいと思います。

つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。
それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0　なんてこれも理解しづらい。
物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。
なのに0と等しいなんてわかりません。

次、(3)の問題です。回答では

ばねの最大の伸びをXとすると、最大の伸びのとき速さは0だから（わかる。）

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-X) + 1/2m×0^2 +1/2kX^2

右辺はわかります。最大の伸びのときの全力学的エネルギーです。

しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです（0ですが）。
（2）と同じで、自然長の時は物体を付けていないから、弾性力のエネルギーも、位置エネルギーもないので、このときと最大の伸びのときの力学的エネルギーが等しいなんて思えません。
（状況が違うから。）

最後になりましたが、長々としたのはかなり自分も考えましたが、分からない部分がはっきりつかめないので、しつこく書いてみました。

解決して次の問題に行きたいと思っていますので、物理に自身のある方、この問題が分かる方
誰か教えてくれる方はおられませんか。
よろしくお願いします。

回答No.3

sauterii · ベストアンサー

数学（値）としての等しさと物理的状態の等しさを混同されているのが根本原因だと思います。

■質問者様の疑問その１　問題（２）
＞しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね？

　計算結果の総量が0になるので数値はそうなります。ただし、あくまで解答の左辺は真ん中の図のように重りを付けた状態で、自然長位置に来た時の式です。左の図の状態と「値」が等しくなってしまう「0」になるように条件を設定しているため混乱するのです。なぜ左の図と等しくなるのか。１つは「自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離した」こと。２つ目は「重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置」としていること。
　摩擦や減衰を無視すると、このばねは永遠に自然長位置を頂点として振動を続けます。最頂点の位置に来た時、題意から変位は基準点のため0、速度も0、ばねの自然長からの変位も0になるので左辺の状態になります。この瞬間にサッと重りを取り除くと左の図の状態になります。しかし実際には重りが付いていますので、次の瞬間に重力によりばねが伸びていきます。ここが左の図と問題(2)中の重りが最頂点に来たときの違いです。瞬間的な値は等しいですが状態は異なります。

＞つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。

　真ん中の図のばねに重りがついた状態での、自然長位置（最高点）とつりあい位置では保存則が成り立っています。
　瞬間的な値が同じになるだけで、左の図と真ん中の図の間ではエネルギー保存則は成り立っていません。重りの着脱には外力（この場合は人の手ですかね）が必要ですし、重りのない状態ではばねをaの位置まで伸ばすエネルギーは在りません。

■質問者様の疑問その２　問題（２）
＞それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0　なんてこれも理解しづらい。物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。なのに0と等しいなんてわかりません。

　この場合の（数字の0）≠（存在しない）です。ここが物理現象と式の間の分かりにくさですかね。ここではイコールで0になるのはつり合っていることを表しています。物体による位置エネルギーとばねの弾性力が反対向きにつり合っている状態です。（力学的エネルギー）＝0と見ると分かりにくいのであれば、（重力による位置エネルギー＋運動エネルギー）＝（ばねの弾性力による位置エネルギー）と移項すれば分かりやすいでしょうか。

■質問者様の疑問その３　問題（３）
＞しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです（0ですが）。

これも問題（２）と同様です。数値的には0になりますが、あくまで左辺は重り付きの状態を示しています。

　私の説明で分かりにくければすみません。その時は基準点の位置を、重りを付けた時のつり合いの位置にするなど仮定を変更すると分かりやすいと思います。
　重りの有無に関係ない数値(変位や速度)が0になるので数学上0となり等しい状態に見えるだけで、重りの有無は明確な物理状態の違いです。逆に言えば、力学的エネルギーの保存則のある一状態だけでは運動系の全体状態を記述できないのです。
数値上納得できない場合、仮定を色々おきかえて記述してみると分かったりします（ex.基準点を変えたり）。

参考URL：

http://blog.livedoor.jp/aritouch/archives/2943111.html

お礼

ありがとうございました。読んだらよく理解できました。基準点の理解が足らず、=0を単純に無いととらえていたことが原因だったようです。分かりやすいです。

回答No.2

ybnormal

タイプミス訂正

「この問題では、位置エネルギーの基準をばねの自然長に取っているので、左辺の位置エネルギーの地面に対する変位は０で、ｍｇｘ０となっています。」
は
「この問題では、位置エネルギーの基準をばねの自然長に取っているので、左辺の位置エネルギーの基準点（ばねの自然長）に対する変位は０で、ｍｇｘ０となっています。」

の間違い。

位置エネルギーの基準をどこにとるかにかかわらず、二つの状態の物体の位置的な変異以外に由来する位置エネルギー（先の例ではｍｇＨ）は、エネルギー保存則を考慮すると相殺されるので、計算上意味をなさない。つまり、力学的エネルギー保存則を考えるときには、位置エネルギーの基準はどこにとってもいいことになり、解答では基準をばねの自然長にとっているというだけです。

お礼

回答ありがとうございました。この回答も一緒に読ませてもらい理解することができました。勉強が止まりかけていたため非常に助かりました。

回答No.1

ybnormal

》しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね？
いや、左の図に物体を付けて、その状態を維持するように支えている時の全力学的エネルギーです。だから、左辺の式の運動エネルギーと位置エネルギーには質量ｍが考慮されています（速度が０、位置的な変位も０なのでｍは意味をなさないが）。
ばねと物体を含めた全系のエネルギー状態を見ているわけですから、物体も含めなければつじつまが合わなくなります。

》それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0　なんてこれも理解しづらい。
》物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。
》なのに0と等しいなんてわかりません。
位置エネルギーはどこに基準をとるかによって変わりますから、ここでの全エネルギーが０というのは便宜的なものです。この問題では、位置エネルギーの基準をばねの自然長に取っているので、左辺の位置エネルギーの地面に対する変位は０で、ｍｇｘ０となっています。たとえば、基準を地面にとって、ばねが自然長にある時の物体の地面からの位置をＨとすれば、式は
mg×H + 1/2m×0^2 + 1/2k×０^2 = mg(-a + H) + 1/2mv^2 + 1/2ka^2
となり、全力学的エネルギーは０ではなくなります。が、ｍｇＨの項は、相殺されるので意味を計算上は意味をなさなくなります。