列ベクトルの線型従属性を最小化する変換法

質問

度々お世話になります。下記の行列の問題で悩んでおります。

＜問題＞
既知のM×N実行列Xと，適当なN×K実行列Aを用いて，
Y = X A
Z = exp(X A)
を計算する状況にあります。ただし，N < K < M, rank(X) = N です。また，exp()は()内の行列の各要素に対する演算です。

このとき，
(1) Yの各列ベクトル間を可能な限り線型独立に近づける
(2) Zの各列ベクトル間を可能な限り線型独立に近づける
には，それぞれAを，どのように設定すればよいでしょうか？

＜自分で考えたこと＞
○ (1)について，N < Kなので，Yの列ベクトルは線型従属であり，完全な線型独立は実現し得ない。
○ (1)(2)について，相関係数行列を用いるような，何らかの線型独立性の指標を，数値的に最小化する，という方法はありそう。指標として何が適切かは不明。

回答No.1

muturajcp

Yの列数はK
Yの階数はN
N < Kなので，YのK個の列ベクトルは線型従属であり
Aをどのように設定しても
K次線型従属なものを
K次線型独立に近づけることはできない

N < Kなので，YのK個の列ベクトルは線型従属だから、
行列YのK次の小行列式はすべて0である。

行列YのN次の小行列式の中に0でないものが存在するとき
N次線型独立というのだから
N次線型従属に近い
(行列YのN次の小行列式の最大値が0に近いが0でないものが存在する)
(ランク落ち)
N次線型独立はありうるが

行列YのK次の小行列式はすべて0だから
0であるものを0でないものに近づけることはできないから
K次線型独立に近いK次線型従属などありえない

Yの階数はNだから
N次より小さい線形従属に近づける(ランク落ちする)ことはできるが
N次より大きい線形独立に近づけることはできない

例)
R=(全実数)
0≠x∈Rとするとa∈R,ax=0→a=0だからxは線型独立
0≠a∈R,a0=0だから0は線型従属
線型独立(x≠0)を線型従属(0)に近づけることはできるが
線型従属(0)を線型独立(x≠0)に近づけることはできない