線形代数の問題が解りません。

質問

線形代数の問題が解りません。

線形代数の問題が解りません。
宜しかったら教えてください。

1.次のシステムを考える

x(t)= A x(t) + b u(t)　　　・・・I
xに上点あり
A=[1 0 0 0;0 -1 0 1;0 0 -1 0;2 0 -1 -1]
b=[-1 1 0 -1]の転置
y(t)=c x(t)　　　　　　　　 ・・・II　　　　　　　　　　　　
c=[1 0 1 0]

1-1. このシステムの可観測行列をMとするとき、rank=2を示せ

これは可観測行列M=[c cA cA^2 cA^3]の転置　となるので、行基本変形で
M=[c cA cA^2 cA^3]
=[1 0 1 0;1 0 -1 0;1 0 1 0;1 0 -1 0]
・
・
・
=［1 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0;0 0 0 0］
と変形でき、rankM=2となり、ここまでは何とかわかりました。

1-2．KerMの基底ベクトルω3、ω4を求めよ
1-3．ベクトルω1、ω2をω1、ω2、ω3、ω4がR^4の基底ベクトルとなるように定めよ
1-4．T=[ω1 ω2 ω3 ω4]とおく。状態変換x(t)=Tx(t) (右辺のxの上には~あり)
によって、状態方程式Iと出力方程式IIはそれぞれどのような式へと変換されるか

1-5．このシステムの伝達関数を求めよ
1-6．システム(A,b,c)の極、および、伝達関数G(ｓ)の極を求めよ

2．Mをk*l行列とする。
2-1　Mの像Im M がベクトル空間R^kの部分空間となることを示せ
2-2　Mの核Ker M がベクトル空間R^lの部分空間となることを示せ

1－5、6については
前の定義に
システム(A,B,C)の伝達関数G(ｓ)は
G(ｓ)＝C(sI-A)^(-1)B= C adj(sI-A)B/det(sI-A)
と表せるから
s=pが伝達関数G(s)の極なら、s=pがシステム(A,B,C)の極である、
とあるのですが、よく意味が解りませんでした。関係がなかったらすみません。

どなたかわかる方がいましたら、一問でも構いませんので
具体的な解き方も含めて教えてください。
宜しくお願いします。

回答No.2

alice_44

Mから3列目と4列目をとったものは、Mの像空間 ImM の基底になります。
Mの核 KerM とは、Mx=0 となるベクトル x がなす集合のことです。
この辺の用語から怪しいようだと、問題を解いてみるのは早すぎます。
最低一回は、教科書を通しで読んでからにしましょう。
線形システムのテキストをイキナリ読むのではなく、線形代数の入門書を
きちんと読んでみることを勧めます。

回答No.1

alice_44

補足要求 :
とりあえず、1-1 ～ 1-4 について、貴方自身の答えを書いてください。
全ては、それからだと思います。
http://okwave.jp/qa/q5871321.html

補足

1は理解できたのですが
1-2．KerMの基底ベクトルω3、ω4を求めよ
rank M=2なので、変形前のMから3列目と4列目をとったものがKerMの基底ベクトルω3、ω4になるのか？、と単純に思いましたが、KerM、基底ベクトルの意味がよくわかりませんでした。

それ以降も考えてみたのですが全く見当がつきません。