放物線 直線

質問

直線y=x/aと放物線y=(x-a)^2との交点をPとQとする
aが正の整数1、2、3、・・・の値をとって変わるとき、弦PQの長さの整数部分を求める問題です

弦PQ=√(4+(5/a^2)+(1/a^4))なのはわかったのですが、これからどうすればよいのでしょうか？

回答No.8

yyssaa · ベストアンサー

ax^2-(2a^2+1)x+a^3=0の解をA、Bとすると
a(x-A)(x-B)=a{x^2-(A+B)x+AB}=0から
(A+B)=(2a^2+1)/a
AB=a^2
PQ^2=(A-B)^2+(A/a-B/a)^2=(A-B)^2(a^2+1)/a^2
ここで(A-B)^2=(A+B)^2-4AB=(2a^2+1)^2/a^2-4a^2
={(2a^2+1)^2-(2a^2)^2}/a^2=(4a^2+1)/a^2
よって
PQ^2=(4a^2+1)(a^2+1)/a^4=(4a^4+5a^2+1)/a^4
=4+5/a^2+1/a^4
y(a)=4+5/a^2+1/a^4としてy-a曲線を考えると
y'=-10/a^3-4/a^5=-(10a^2+4)/a^5から
aが正の整数であれば、y(a)はaの減少曲線であり、
a=1で最大値ymax=4+5+1=10をとり、
a→∞でy(a)→4となるので、4＜y(a)≦10。
PQ=√y(a)なので、その整数部分は3及び2。・・・答え

お礼

新しい観点です
ありがとうございました

回答No.12

noname#181872

ということは3次関数とか4次関数を微分して、その導関数の正負を調べれば
元の関数が増加するのか、減少するのかが分かり、そこからグラフの概形を
描くことができるということも分かりますよね。
今回の式でも同じことをすればよいのです。

ただ今回の式は√(4+(5/a^2)+(1/a^4))と複雑なので、ルートの微分や
マイナスの指数の微分、合成関数の微分を習っていないかもしれないな、
とは思っていました。ただ、”このような複雑な式の微分の仕方は分かりません”
など具体的なこともなく、あっさりとやり方を教えてくださいと来たことから、
努力や足掻いた跡が感じられなかったので受身過ぎない？と思ったわけです。

では
解答を書いてもあまり意味がないので、やり方を書きます。
最後は自分の手で鉛筆を動かしてみてください。

√(4+(5/a^2)+(1/a^4))を微分する方法はありますが、非常に複雑です。
もしも習っていないようであれば、以下の方法で解いてみましょう。

√(4+(5/a^2)+(1/a^4))はaがいくつであろうと正になるのは明らかです。
なのでこれを2乗した4+(5/a^2)+(1/a^4)について、aが1以上の時、
どのような増減をするかを調べてみましょう。
もしもaが1以上の時に単調減少を示すのであれば、それをルートした
√(4+(5/a^2)+(1/a^4))も単調減少を示します。

増減を調べる方法は先程書いたとおりで、微分をすることです。
で、指数がマイナスの微分（5/a^2ということは5a^(-2)ですよね）が
出てきますが、これは指数がプラスの微分と同じように考えてください。
つまりf(x)=x^tの微分はf'(x)=tx^(t-1)ですよね。
同様にf(x)=x^(-1)の微分は指数の-1を前に下ろして、指数をさらに1個減らす、
つまりf'(x)=-x^(-2)です。
このようにすれば、5/a^2も1/a^4も微分できますよね。

そしてここで求められた導関数はaが1以上の時、正負はどうなりますか？

補足

すみません
合成関数等は分かるのですが直線y=x/aや弦PQなどがあってどれを微分するのか分からず混乱していました
ようやく微分して傾きがどうなるかを調べるという方針が見えました
ありがとうございました

回答No.11

noname#181872

では聞きますが、3次関数や4次関数を微分して極値を求める問題を
解いたことはありますか？

補足

あります

回答No.10

noname#181872

微分で解けるよ、と方針を与えたのに、どうして自分でやってみようと
思わないの？なんか受け身過ぎる気がします。

補足

どうすればいいか分からないからです
確かに頭は悪いですが、受け身とは違うのにそういう風に取られてしまって回答していただけないのは悲しいです

回答No.9

noname#181872

まず、#2で方針を書きましたが、方針とは得られている情報から、
”なんとなくこんな方法で解けないかな？”ということを探ることです。
なので感覚的に”こうなりそう”からスタートして問題ありません。

ここで、例えば、a=1から順番に代入するというのも一つの解法です。
a=1ならば求める解は3
a=2ならば求める解は2
a=3ならば求める解は2
…
aが十分に大きければ求める解は2
だから、a=1のときだけ3で他は2と求めるのもありだと思います。
ただ、この単に計算をしただけの方法ならば、a=5ならばどうなの？a=12ならば？
a=310のときも絶対2なの？など計算していないところでも求める解が2になるという
保証ができないのです。だからといってすべてを計算することなんてできません。
なので、計算しなくても2以上なら求める解は2だよということを
何らかの方法で示す必要があるということです。
もちろん#5さんが示されている、「規則性から単調減少するのは明らか」で
十分と思います。ただ、何も示されていなかったら自分が採点者なら
減点にしますね。

>　ただ、単調減少するなどの理論武装というのはどういうことをすればよいのですか？

微分はまだ習っていないでしょうか。
そうであれば#5さんが示されたような、
f(a)=√(4+(5/a^2)+(1/a^4))としたとき、aが1以上の時、f(a)>f(a+1)になる
ということを示せばよいと思います。

で、その解きかたとして
1)力ずくで。
f(a)-f(a+1)=√(4+(5/a^2)+(1/a^4))-√(4+(5/(a+1)^2)+(1/(a+1)^4))
この式の分子、分母に√(4+(5/a^2)+(1/a^4))+√(4+(5/(a+1)^2)+(1/(a+1)^4))をかける
（分子を有理化する感じ）。
すると、分母は5/a^2-5/(a+1)^2　+　5/a^4-5/(a+1)^4で正。
分母も正なので、aが1以上の時、f(a)-f(a+1)>0 よって　f(a)>f(a+1)で単調減少。
2)ちょっとだけ細工を。
f(a)、f(a+1)ともに正なので、{f(a)}^2>{f(a+1)}^2が示せればf(a)>f(a+1)になる。
あとは省略。

お礼

とても詳しくありがとうございました

補足

微分は習っていますので、今後のためにもなるかもしれませんからよければ教えていただけませんか？

回答No.7

suko22

誤植の訂正と若干の補足です。2箇所です→で示します。

aとa+1で1増えたときどうなるかを考えます。
5/a^2>5/(a+1)^2, 1/a^2>1/(a+1)^2から（∵右辺の分母のほうが大きいから）→誤）普遍　正）右辺
√(4+5/a^2+1/a^4)>√(4+5/(a+1)^2+1/(a+1)^2
よりaが1ずつふえるごとに√の中身は小さくなるのでＰＱ＝√（・・・）はaが1大きくなるにつれて単調に減少する。→誤）おおきくなる　正）1大きくなる

お礼

了解しました

回答No.6

ferien

ANo.４です。訂正です。

＞ＰＱの長さは２と４の間だから、整数部分は、２または３

です。

お礼

了解です

回答No.5

suko22

＞ただNo.2さんの回答だと単調減少であることとかを示さなきゃならないらしいのですが・・・

「規則性から単調減少するのは明らか」では不十分と考えるなら、

次のように考えてはどうですか。

aとa+1で1増えたときどうなるかを考えます。
5/a^2>5/(a+1)^2, 1/a^2>1/(a+1)^2から（∵普遍の分母のほうが大きいから）
√(4+5/a^2+1/a^4)>√(4+5/(a+1)^2+1/(a+1)^2
よりaが1ずつふえるごとに√の中身は小さくなるのでＰＱ＝√（・・・）はaが大きくなるにつれて単調に減少する。

お礼

そうやって示すんですね
ありがとうございました

回答No.4

ferien

＞弦PQ=√(4+(5/a^2)+(1/a^4))なのはわかったのですが、
ａ≧１だから、０＜１／ａ≦１より、
０＜１／ａ^2≦１，から、、０＜５／ａ^2≦５
０＜１／ａ^4≦１
４＜４＋（５／ａ^2）＋（１／ａ^4）≦４＋５＋１＝１０だから
２＜√｛４＋（５／ａ^2）＋（１／ａ^4）｝≦√１０＜√１６＝４
だから、
ＰＱの長さは２と４の間だから、整数部分は３

お礼

また違う解き方ですね
ありがとうございました

回答No.3

151A48

a=1　のとき　PQ＝√10 だから整数部分は３

a≧２　のとき　1/a^2≦1/4, 1/a^4≦1/16

4＜4+(5/a^2)+(1/a^4)≦85/16=5.31...＜９

なのでPQの整数部分は２

お礼

極限を使わない方法ですね
ありがとうございました

回答No.2

noname#181872

求めるのは弦PQの整数部分ですよね。
ここでaが十分に大きくなったら、5/a^2、1/a^4はどうなりますか？
0に収束しそうですよね。
ということは、aが十分に大きくなったら、弦PQ≒√4になりそうな気がしませんか？
そうすると、aが十分に大きくなれば弦PQの整数部分は2ですよね。

では弦PQの整数部分が2ではないときはあるのか？ということを求める意味で
a=1を代入すると、弦PQ=√(4+5+1)=√10、というわけで、
a=1のときは弦PQの整数部分は3になります。
そうすると、aがいくつのときに3から2になるか。
これが求められれば、aが○未満なら3、aが○以上なら2という感じになりませんか？

もちろん途中には√(4+(5/a^2)+(1/a^4))はaが増加するにつれて単調減少するなどの
理論武装は必要ですが、このような方針で解けませんか？

補足

方針は分かりました
ありがとうございました

ただ、単調減少するなどの理論武装というのはどういうことをすればよいのですか？