放物線と直線

質問

直線y=x/aと放物線y=(x-a)^2との交点をPとQとしたとき、弦PQの長さをaの式で表す問題です

まず
x/a=(x-a)^2
x=ax^2-2a^2x+a^3
ax^2-(2a^2+1)x+a^3=0
x={2a^2+1±√(4a^2+1)}/2a
と交点を求めて、
P＜Qとすると
(Q-P)=√(4a^2+1)/a
となり
弦PQは公式から√(1+直線の傾きの二乗)×(Q-P)だから
弦PQ
=√(a^2+1/a^2)×{√(4a^2+1)/a}
={√(a^2+1)/a}×{√(4a^2+1)/a}
=√(a^2+1)×√(4a^2+1)/a^2
としたのですが答えはPQ=√(4+(5/a^2)+(1/a^4))となっています
なにが違うのでしょうか？

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞弦PQ
＞=√(a^2+1/a^2)×{√(4a^2+1)/a}
＝√｛（ａ^2＋１）／ａ^2｝×√｛（４ａ^2＋１）／ａ^2｝
＝√｛１＋（１／ａ^2）｝×√｛４＋（１／ａ^2）｝
＝√｛１＋（１／ａ^2）｝×｛４＋（１／ａ^2）｝
としてかっこを展開すれば、
＞PQ=√(4+(5/a^2)+(1/a^4))

になります。

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.4

MarcoRossiItaly

ご質問に対する直接の回答はもう出ていますが、2次関数の「解と係数の関係」を使うと、もうちょいラクに計算できます。ベストアンサーは辞退します。

解・係数よりα+β=(2a^2+1)/a, αβ=a^2。P、Qのx座標の差はβ-α。y座標の差は直線の式よりβ/a-α/a。

ピタゴラスの定理より、

PQ=√{(1+1/a^2)(β-α)^2}=√[(1+1/a^2){(α+β)^2-4αβ}]=√[(1+1/a^2){((2a^2+1)/a)^2-4a^2}]=√{(1+1/a^2)(4+1/a^2)}=√(4+5/a^2+1/a^4)

お礼

補足ありがとうございました

回答No.3

asuncion

＞できたらなぜイコールなのか教えてください

他の人が書いた答えを「見るだけ」より、
ご自分の「手を動かす」方が、よく理解できると思います。

お礼

どのように手を動かせばおなじになるのかわからなかったので
すみません

回答No.1

f272

√(a^2+1)×√(4a^2+1)/a^2=√(4+(5/a^2)+(1/a^4))
ということですね。

補足

同じだったんですね
できたらなぜイコールなのか教えてください