直線と曲線で囲まれた領域の重心について

質問

放物線と異なる2点で交わる直線で囲まれた領域の重心の座標って何処ですか？

放物線の方程式はなんでもいいのですが…
一応y＝a(x－b)^2 ＋c 、y＝mx＋nとしておきます

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

とりあえず、曲線で囲まれた図形の「重心」の定義を。
計算の前に、定義が必要ですからね。
平面上の領域 S に含まれる位置ベクトルを p として、
図形 A の重心とは、∫[p∈A] p dp / ∫[p∈A] dp
のことです。分母の積分は、A の面積を表します。
この定義は、A が三角形の場合に、中学の幾何で習った
重心の定義に一致します。

さて、質問のように A が s≦x≦t, f(x)≦y≦g(x) で
表される場合には、∫[p∈A] (なんたら) dp は
∫[s≦x≦t] ∫[f(x)≦x≦g(x)] (なんたら) dy dx と
書けますから、上記の重心の定義は、
∫[p∈A] p dp / ∫[p∈A] dp
= ∫[s≦x≦t] ∫[f(x)≦x≦g(x)] (x,y) dy dx / ∫[s≦x≦t] ∫[f(x)≦x≦g(x)] dy dx
= （X, Y),
X = ∫[s≦x≦t] x{g(x)-f(x)} dx / ∫[s≦x≦t] g(x)-f(x) dx,
Y = ∫[s≦x≦t] (1/2){g(x)^2-f(x)^2} dx / ∫[s≦x≦t] g(x)-f(x) dx
と表せます。

f(x) = mx+n, g(x) = a(x-b)^2+c,
f(x) = g(x) の解が x = s, t の場合にも、
上記に従って計算すればよいです。
小技としては、s, t を求めたり代入したりするのが
煩わしいので、s, t を式に残して積分し、
解と係数の関係を使って後で s, t を消去する
方向になるでしょうか。(そこが本論ではありませんが。)

お礼

計算の工夫の仕方まで書いてくださって
ありがとうございます。

回答No.2

spring135

答えがあったら確認してください。

面の重心は一定の方向で面を短冊に切って行って各短冊の中心をつなぐ曲線C1を求め、

次に異なった方向から同様の作業を行い、得られた短冊の中心の曲線をC2とすると、

C1とC2の交点としてもとめられます。

C1としてはy軸に平行に切った短冊を考えるとその中心の曲線は

y=[a(x－b)^2 ＋c+mx＋n]/2　　　(1)

C2として、y＝mx＋nに平行に切った短冊を考えるとその中心は

a(x－b)^2 ＋c＝mx＋n

の解の平均となり

ax^2-(2ab+m)x+ab^2+c-n=0

から

x=(2ab+m)/a/2=b+m/2a　　　　(2)

これはnが入っていないので、y＝mx＋nのｎを変化させて短冊を切り中心を求めると

nによらないことを示しています。

(2)を(1)に代入して

y=[3m^2/(4a)+mb+c+n]/2 (3)

(2)、(3)が答えです。

お礼

すみません
答えはないんです…

重心の位置は短冊の中心と一致するって
知りませんでした

ありがとうございます

回答No.1

info22_

平行移動した
y=ax^2
と
y=m'x+n'
で考えたらどうですか？

２つの交点の座標をα,β(α<β)とすると
放物線と直線で囲まれた領域の面積Sは
S=∫[α,β]|ax^2-m'x-n'|dx
=|a|(β-α)^3
となります。（参考URL参照）
重心の座標をG(gx,gy)とし、領域内の点を(x,y)とすると
gx=∫[α,β] x|ax^2-m'x-n'|dx/S
gy=∫[α,β] y|ax^2-m'x-n'|dx/S
で計算できます。

計算はご自分でどうぞ!?

参考URL：

http://plaza.rakuten.co.jp/ultraprep/diary/200701260002/

お礼

そのまま計算をすると煩雑になってしまうので…
平行移はいいアイディアですね！

ありがとうございます